インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

素数仲間

とある二匹の白い猫がいます。







そのうちの一匹の写真を今日撮らせていただきました。









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可愛いでしょう?








もう一匹の方に150日前に撮らせて頂いた写真がこちら








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可愛いでしょう?









1426日前に撮らせて頂いた写真もあります。








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可愛いでしょう?







追記

606日前に撮らせて頂いた写真を追加します。







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可愛いですね。





追記2

画像整理していて見つけた画像を追加します。







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元気してるかな〜

Regimbalの素数公式

p_nn番目の素数を表します。素数の分布に真に迫るのは大変に難しいことですが、「素数を式で表す」だけなら簡単です*1。この記事はそんな公式達を紹介する第一弾です。

定理 (Regimbal, 1975) \displaystyle \ \ \ p_n=\sum_{k=2}^{2^n}\left[ \frac{1}{\displaystyle 1+\left| n-\left[ \frac{1}{\sum_{i=1}^{k-1}\left[ \left. \left[ \frac{k}{i} \right] \right/ \frac{k}{i}\right]} \right] \sum_{j=2}^k\left[ \frac{1}{\sum_{i=1}^{j-1}\left[ \left. \left[ \frac{j}{i} \right] \right/ \frac{j}{i}\right]} \right] \right|}\right] k
が成り立つ。

補題1 n \geq 2に対して関数g(n)
\displaystyle g(n) = \sum_{i=1}^{n-1}\left[ \left. \left[ \frac{n}{i}\right] \right/ \frac{n}{i} \right]
と定める。このとき、nが素数ならばg(n)=1nが合成数ならg(n) > 1が成り立つ。

証明. 0 < \frac{[x]}{x} \leq 1より、\left[ [x] / x \right]の値は01であることに注意する。

\displaystyle \left[ \left. \left[ \frac{n}{i}\right] \right/ \frac{n}{i} \right] = 1 \Longleftrightarrow \left[ \frac{n}{i}\right] = \frac{n}{i} \Longleftrightarrow i \mid n

であるから、g(n)=1となるための必要十分条件はi \mid nなるi \in \{1, \dots, n-1 \}が一つだけであることがわかる。この条件はすなわちnが素数であることに他ならない。 Q.E.D.

命題1 素数判定関数P(n)
\displaystyle P(n) := \begin{cases}1 & (n\text{が素数であるとき}) \\ 0 & (\text{そうでないとき})\end{cases}
と定める。このとき、n \geq 2ならば
\displaystyle P(n) = \left[ \frac{1}{g(n)}\right]
が成り立つ。

証明. 補題1より刹那に従う。 Q.E.D.

次にn番目の素数が出現した際に、その値を返す機械を作製しましょう:

命題2 nを固定し、m \geq 2とする。このとき、
\displaystyle \left[ \frac{1}{1+|n-P(m)\pi (m)|}\right]m=\begin{cases}m & (m=p_n) \\ 0 & (\text{そうでないとき})\end{cases}
が成り立つ。\pi (m)m以下の素数の個数を表す。

証明. まず、

\displaystyle P(m)\pi (m) = \begin{cases}\pi (m) & (m\text{:素数}) \\ 0 & (m\text{:合成数})\end{cases}

が成り立つことに注意する。よって、n=P(m)\pi (m)が成り立つための必要十分条件はm=p_nである。そうして、

\displaystyle  \left[ \frac{1}{1+|n-P(m)\pi (m)|}\right] = \begin{cases}1 & (m=p_n) \\ 0 & (\text{そうでないとき})\end{cases}

が得られるので、両辺をmばいすればよい。 Q.E.D.

補題2 \ \ \ p_n \leq 2^n.

証明.Bertrandの仮説からわかる。 Q.E.D.

定理の証明. 命題2及び補題2より、

\displaystyle p_n = \sum_{k=2}^{2^n}\left[ \frac{1}{1+\left|n-P(k)\pi (k)\right|}\right] k

がわかる。あとは

\displaystyle \pi (k) = \sum_{j=2}^kP(j)

であることに注意すれば、補題1及び命題1より定理が得られる(n=1のときは直接確認できる)。 Q.E.D.



n番目の素数を表す公式は存在しない」と主張する人と対面したときのみ役立つ定理です。

*1:n番目の素数を上から押さえるところだけ非自明な結果を使います。ただ、深い結果を使えば使うほど無駄がなくなるだけであって integers.hatenablog.com で紹介したp_n < 2^{2^n}でも良いです。

猫が大好き

めっきり寒くなってきましたね〜


夜中目が覚めると、異常に寒いですブルブル


そういえば、私は猫が大好きです。飼ってないですが、野良猫が大好きなのです。



野良猫と素数について語り合う時間が至福ですね。彼らは日本語を喋らないのでただの私の独り言の可能性もありますが。



最近のニュースですが、ディオファントスの5つ組予想を解決したと主張するプレプリントがプレプリントサーバに投稿されました:

[1610.04020] There is no Diophantine quintuple


ディオファントスの5つ組予想については

integers.hatenablog.com

を参照してください。


それでは