インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

似ている曲達

似ている曲達を紹介します。

七色シンフォニー vs. DANDAN心魅かれてく

コアラモード. の"七色シンフォニー"

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の0:41~0:59とドラゴンボールGTのオープニングテーマ"DANDAN心魅かれてく"

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0:27~0:47は似ています*1

夏のFree&Easy vs. 超特急

乃木坂46の"夏のFree&Easy"

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の0:25~0:30とゆずの"超特急"

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の冒頭5秒は似ています*2

Mining Melancholy vs. Rockface Rumble

スーパードンキーコング2のメインコンポーザーDave Wiseによる名曲"Mining Melancholy"

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の0:36~0:54とスーパードンキーコング3のメインコンポーザーEveline Fischerによるこれまた名曲"Rockface Rumble"

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の0:50~1:05は似ています。FischerがMining Melancholyのテーマを元に作ったのだと思われます。

ポケモン金銀29番道路 vs. 自由の翼

ポケモン金銀の29番道路のbgm

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と進撃の巨人のオープニング曲「自由の翼」

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の冒頭は似ています。

It's A Small World vs. A Quiet Village

ディズニー音楽"It's A Small World"

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とドラクエ8の"A Quiet Village"

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は似ています。

オーキド研究所 vs. 中国の踊り

ポケモンのオーキド研究所のBGMの冒頭

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とチャイコフスキー バレエ組曲 くるみ割り人形 の「中国の踊り」

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の0:04~は似ています。

Never ending journey vs. エデンの朝

DQモンスターズの「Never ending journey」

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のメロディがDQ7の「エデンの朝」

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の0:23~0:27に使われています。

JOIN US vs. おどるポンポコリン

UUUMの"JOIN US"

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の1:00~1:06とちびまる子ちゃんの「おどるポンポコリン」

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の0:27~0:32は似ています。

明日への扉 - I WiSH vs. 風になる

川嶋あいの「明日への扉 - I WiSH」

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の1:28~1:34とつじあやのの「風になる」

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の1:01~1:09は似ています。Little Glee Monster 「いつかこの涙が」

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の1:15~1:20も似ているかもしれません。

SWEET 19 BLUES vs. secret base ~君がくれたもの~

安室奈美恵の「SWEET 19 BLUES」

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の0:00~0:06とZONEの「secret base ~君がくれたもの~」

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の0:42~0:49は似ています。

MOON vs. Papa Don't Preach

レベッカのMOON
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の0:30~0:44, 0:45~0:59, 1:00~1:13, 1:14~1:28とMadonnaの「Papa Don't Preach」

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の0:32~0:46, 0:48~1:02, 1:04~1:19, 1:20~1:34をそれぞれ聴き比べてみましょう。

グーチョキパーでなにつくろう vs. マーラー交響曲第一番「巨人」第三楽章

グーチョキパーの歌

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とマーラー交響曲第一番「巨人」第三楽章

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の冒頭は似ています。これらはともにフランス民謡「Frère Jacques」がベースです。

きっと明日は vs. ラフマニノフ交響曲第二番第三楽章

おジャ魔女どれみエンディングテーマ「きっと明日は」

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の0:55~1:33とラフマニノフ交響曲第二番第三楽章

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のメインテーマ(冒頭、3:13~3:28など)は似ています。

ベートーベンピアノソナタ 第14番 「月光」第三楽章 vs. ショパン幻想即興曲

ベートーベンの「ピアノソナタ 第14番 「月光」第三楽章」

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の15:19~15:40とショパンの「幻想即興曲」

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の0:16~0:19は似ています*3

Yeager's Triumph vs. チャイコフスキーヴァイオリン協奏曲第一楽章

映画"The Right Stuff"の"Yeager's Triumph"という曲

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の4:01~終わりまでとチャイコフスキーヴァイオリン協奏曲第一楽章

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6:12~6:47あたりはすごく似ています。


どれもいい曲です^^

*1:七色シンフォニーを聴いたときの第一印象は1:05~1:14とワンピースのオープニングテーマ"ヒカリヘ" www.youtube.com の0:30~0:37が似ているというものでした。そんなに似ていませんが。

*2:夏のFree&Easyので出し(0:12~)はワンピースのオープニングテーマ"ココロのちず" www.youtube.com の0:19~と似ています。

*3:ショパンは幻想即興曲を生前公表していません。

ラマヌジャンによる円周率近似の作図②

21431, 2, 3, 4を並び替えてできる素数の一つですが、\displaystyle \frac{2143}{22}\pi^4に近いという事実は覚える価値があります:

\displaystyle \sqrt[4]{\frac{2143}{22}} = 3.14159265258264612520603717964402237155787798316012\dots

Ramanujanは

\displaystyle \frac{2143}{22} = 9^2+\frac{19^2}{22}


と書けることに着目して次のような作図を提唱しています:

f:id:integers:20180211233243p:plain

  • ABは円Oの直径.
  • Cは弧ABの中点.
  • TAO1:2に内分する点.
  • CM=MN=AT.
  • AP=AM.
  • PQMNに平行.
  • TROQに平行.
  • AS=AR\angle OAS=90^{\circ}.

このとき、Ramanujan曰く「OSOBの比例中項は円周の6分の1に非常に近い」。


実際、AO=1とすれば\displaystyle AT=CM=MN=\frac{1}{3}であり、AC=\sqrt{2}.

\displaystyle AM = \sqrt{2+\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{19}}{3}.

\displaystyle AN = \sqrt{2+\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{22}}{3}.

\displaystyle \frac{AP}{AN} = \sqrt{\frac{19}{22}}.

よって、\displaystyle AQ=\sqrt{\frac{19}{22}} \times AM = \frac{19}{3\sqrt{22}}. \ \displaystyle AS=\frac{1}{3}AQ = \frac{19}{9\sqrt{22}}.

\displaystyle OS = \frac{1}{9}\sqrt{9^2+\frac{19^2}{22}} = \frac{1}{9}\sqrt{\frac{2143}{22}}.

よって、OSOBの比例中項は\displaystyle \frac{1}{3}\sqrt[4]{\frac{2143}{22}}となる。

Shanksの恒等式の拡張と円周率近似の作図

以前紹介したShanksの恒等式

integers.hatenablog.com

はWilliam G. Spohn, Jr. によって次のように拡張できることが指摘されています:

K^2=m+nのとき、
\sqrt{K+\sqrt{n}}+\sqrt{K+m-\sqrt{n}+2\sqrt{m(K-\sqrt{n})}} = \sqrt{m}+\sqrt{2(K+\sqrt{m})}.

11^2=5+116のときがShanksの恒等式になっています。他には、例えば6^2=5+31より

\begin{align}&\sqrt{6+\sqrt{31}}+\sqrt{11-\sqrt{31}+2\sqrt{30-5\sqrt{31}}} = \sqrt{5}+\sqrt{12+2\sqrt{5}}\\ &=6.294655903737137999795666954270866835755781658953676453787\dots \end{align}

が得られますし、12^2=31+113より

\begin{align}&\sqrt{12+\sqrt{113}}+\sqrt{43-\sqrt{113}+2\sqrt{372-31\sqrt{113}}} = \sqrt{31}+\sqrt{24+2\sqrt{31}}\\ &=11.49528734681414510373602785519044656701402256143457869209\dots \end{align}

が得られます。


6^2=5+3112^2=31+113と言えばピンとくるものがありますよね。

私がフリーハンドで描いた次の芸術的な図をご覧ください(GeoGebraで描き直しました):

f:id:integers:20180212004837p:plain

  • Oを中心とする円を考える.
  • ABは円の直径.
  • MAOの中点. TOB2:1に内分する点.
  • PTABと垂直.
  • BQ=PT.
  • OSTRBQと平行.
  • AD=AS.
  • AC=RSで、ACを延長してできる直線は円のAにおける接線.
  • BE=BM.
  • EXCDと平行*1.

このとき、Ramanujan曰く、「BX^2は円の面積に非常に近い」(1914年)。


AO=1としてみましょう。勾股弦の定理を使っていけば計算できます*2。まず、PTを求めると\displaystyle PT=\frac{\sqrt{5}}{3}. よって、\displaystyle BQ=\frac{\sqrt{5}}{3}. これより、

\displaystyle AQ=\sqrt{4-\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{6^2-5}}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3}.

よって、\displaystyle AS=\frac{\sqrt{31}}{6}\displaystyle AC=RS=\frac{\sqrt{31}}{9}.

\displaystyle BC = \sqrt{4+\frac{31}{81}}=\frac{\sqrt{18^2+31}}{9}=\frac{\sqrt{355}}{9}.

\displaystyle BE=BM=\frac{3}{2}.

\displaystyle BD = \sqrt{4-\frac{31}{36}}=\frac{\sqrt{12^2-31}}{6} = \frac{\sqrt{113}}{6}.

従って、

\displaystyle BX= \frac{BE}{BD}\times BC = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{113}}{6}}\times \frac{\sqrt{355}}{9} = \sqrt{\frac{355}{113}}.

すなわち、BX^2は密率

\displaystyle \frac{355}{113}=3.141592920353982300884955752212389380530973451327433628318\dots

になっていることが分かりました。密率については

integers.hatenablog.com

tsujimotter.hatenablog.com

をご覧ください。


実は密率に現れる113355には31

113= 12^2-31, \quad 355= 18^2+31

という形で関わっており、それを上手く作図化したというわけです。見事。

*1:XAD上にはない。

*2:integers.hatenablog.com