2017-04-05

等式の証明

高校数学

タワー分数から生まれ出でた予想がこちら #みらいけん数学デー pic.twitter.com/fXclt4qXDt
— 鯵坂もっちょ (@motcho_tw) 2017年4月4日

この等式を証明しましょう。

integers.hatenablog.com

で紹介したJacobiの三重積公式

Jacobiの三重積
$\tau, v \in \mathbb{C}, \mathrm{Im}(\tau ) > 0$ に対し、次の恒等式が成立する:

$\begin{equation}\begin{split} &\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi \sqrt{-1}\tau n^2+2\pi \sqrt{-1}nv}\\ &= \prod_{n=1}^{\infty}(1-e^{2n\pi \sqrt{-1}\tau})(1+e^{(2n-1)\pi \sqrt{-1}\tau +2\pi\sqrt{-1}v})(1+e^{(2n-1)\pi \sqrt{-1}\tau -2\pi \sqrt{-1}v}).\end{split}\end{equation}$

において $x=e^{2\pi \sqrt{-1}\tau}, \tau=2\nu$ とすれば

$\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)(1+x^n)(1+x^{n-1}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^{\frac{n^2+n}{2}}$

が得られます。右辺は

$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}x^{\frac{n^2+n}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{\frac{n^2+n}{2}}+\sum_{n=-\infty}^{-1}x^{\frac{n^2+n}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{\frac{n^2+n}{2}}+\sum_{m=1}^{\infty}x^{\frac{m^2-m}{2}} = 2\sum_{n=0}^{\infty}x^{\frac{n^2+n}{2}}$

であり、左辺は

$\begin{align} \prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)(1+x^n)(1+x^{n-1}) &= (1+x^0)\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)(1+x^n)^2 \\ &= 2\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)(1+x^n)^2\end{align}$

なので、

$\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)(1+x^n)^2 = \sum_{n=0}^{\infty}x^{\frac{n^2+n}{2}}$

がわかりました。そうして、

$\begin{align}\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)(1+x^n)^2 &= \prod_{n=1}^{\infty}(1-x^{2n})(1+x^n) = \prod_{n=1}^{\infty}(1-x^{2n})(1+x^{2n})(1+x^{2n-1})\\ &= \prod_{n=1}^{\infty}(1-x^{4n})\times \frac{1-x^{4n-2}}{1-x^{2n-1}} = \prod_{n=1}^{\infty}\frac{1-x^{2n}}{1-x^{2n-1}}\end{align}$

と変形できます。従って、 $|x| < 1$ ならば

$\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}\frac{1-x^{2n}}{1-x^{2n-1}} = \sum_{n=0}^{\infty}x^{\frac{n^2+n}{2}}$

が成立することがわかりました。

もっちょさんのtweet投稿時刻が23:57分ですが、1日で最も好きな時間です。

2017-04-03

数と数字の違い

その他

数字(numeral)は数(number)を表す文字です。

「数」と「数字」は異なる概念です。

当ブログで数字に関する記事を書いたことも何度かありますし*1、数字が嫌いだということはありません。むしろ人類全体で考えるとだいぶ好きな方だと思います。

ただ、私は基本的には数の数としての性質が好きです。

今とは異なる記号体系を用いていた古代の数学者達

漢数字や算木を用いた江戸時代の和算家達

彼らが見ていたものと我々が見ているもの。それらはひと続きの同じ学問です。

「数の性質」を話しているときに「数字」という言葉を使われると違和感を覚えます。

追記） Wikipediaの「数字」には

ただし日本では、数字は数自身と混同されることが多いが、これによって問題を生じることもある。

とあるように、「数」の意味で「数字」という言葉が用いられているケースが多いことも理解していますし、高名な数学者であっても「数字」という言葉を使っている文献はいくらでも見つかります。

それは承知の上で、これらの言葉に明確に異なる概念を区別する機能がせっかく備わっているのだから、「数」と「数字」を混同することが多いなどという風習をなくして、これからは皆が区別して使用するようになれば嬉しいなあという個人の感想を持っています。

*1:integers.hatenablog.com integers.hatenablog.com integers.hatenablog.com

2017-04-02

ソフィー・ジェルマン素数

整数整数-2347 整数-3466643

Sophie Germainの仕事を紹介しました：

integers.hatenablog.com
integers.hatenablog.com

この仕事に関連して $2p+1$ が素数になるような素数 $p$ のことをSophie Germain素数と呼ぶようになったわけですが、

integers.hatenablog.com

でも紹介したように、Sophie Germain素数が無数に存在することは未だに証明されていません。

最初の $100$ 個は次のようになっています：

$\begin{align}&2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, \\ &419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013, \\ &1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559, \\ &1583, 1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973, 2003, 2039, 2063, 2069, 2129, 2141, \\ &2273, 2339, 2351, 2393, 2399, 2459, 2543, 2549, 2693, 2699, 2741, 2753, 2819, 2903, \\ &2939, 2963, 2969, 3023, 3299, 3329, 3359, 3389, 3413, 3449, 3491, 3539, 3593, 3623, \\ &3761, 3779, 3803, 3821, 3851, 3863\end{align}$