2017-05-21

虚二次体の類数表(その二)

integers.hatenablog.com
の続きです(Watkinsの結果)。

類数 $26$ (190個)

$\begin{align}&|D|=\\ &551, 951, 1247, 1256, 1735, 1832, 2651, 2771, 2792, 2823, 2839, 2984, 3092, 3327, \\ &3368, 3611, 3736, 3903, 3992, 4052, 4207, 4244, 4376, 4739, 5123, 5435, 5524, 5891, \\ &6059, 6443, 6515, 6587, 6676, 6847, 6891, 6964, 7156, 8003, 8339, 8383, 8408, 8691, \\ &8743, 8843, 8872, 9107, 9448, 9707, 9771, 9987, 10207, 10307, 10408, 10543, 10907,\\ &11048, 11416, 11435, 11499, 11747, 11787, 12571, 12715, 13011, 13459, 13492, 13787, \\ &13864, 13939, 14452, 14488, 14963, 14987, 15027, 15412, 15448, 15592, 15819, 15835, \\ &16179, 16307, 16372, 17083, 17128, 17371, 17704, 17896, 18019, 18472, 18484, 18771, \\ &19003, 19099, 19171, 19419, 19563, 19707, 19732, 19828, 20067, 20299, 20467, 20635, \\ &21363, 21643, 21928, 22315, 22771, 22891, 23272, 23323, 23419, 23512, 23515, 23523, \\ &23731, 24027, 24163, 24619, 24715, 24819, 25099, 25699, 25723, 26392, 26515, 26968, \\ &27139, 27483, 27988, 28003, 28312, 28507, 28699, 28939, 30507, 30571, 31651, 31843, \\ &32947, 33688, 35043, 35368, 35403, 35707, 35907, 35947, 36628, 37108, 37291, 38035, \\ &38427, 38635, 40027, 41332, 41347, 41683, 41707, 42547, 42907, 45208, 45571, 45907, \\ &46603, 48115, 50107, 50563, 50803, 51067, 51115, 51547, 52603, 55003, 56107, 56323, \\ &57115, 58723, 60547, 62707, 64243, 65683, 68083, 68707, 69547, 70387, 79027, 79123, \\ &79963, 82987, 103027\end{align}$

類数 $27$ (93個)

$\begin{align}&|D|=\\ &983, 1231, 1399, 1607, 1759, 1879, 1999, 3271, 3299, 3943, 4903, 6007, 6011, 7699, \\ &8867, 10531, 10939, 11003, 11027, 11383, 11491, 11779, 11939, 13411, 14243, 14723, \\ &15107, 15739, 16411, 16547, 17443, 17627, 17659, 17747, 18587, 18787, 18859, 19051, \\ &19427, 19603, 19843, 20107, 22123, 22147, 22291, 23131, 23899, 25771, 25867, 26347, \\ &27211, 27259, 28099, 28219, 29131, 29347, 29683, 30139, 30763, 33331, 33403, 33547, \\ &34603, 35083, 36787, 38083, 38923, 40387, 42403, 42643, 44059, 44587, 45259, 45403, \\ &45667, 48163, 49627, 51043, 52147, 52387, 53323, 53923, 57163, 58027, 61987, 69427, \\ &71947, 78787, 79627, 86923, 89923, 98443, 103387\end{align}$

類数 $28$ (457個)

$\begin{align}&|D|=\\ &831, 935, 1095, 1311, 1335, 1364, 1455, 1479, 1496, 1623, 1703, 1711, 1855, 1976, \\ &2024, 2055, 2120, 2127, 2324, 2359, 2431, 2455, 2564, 2607, 2616, 2703, 3224, 3272, \\ &3396, 3419, 3487, 3535, 3572, 3576, 3608, 3624, 3731, 3848, 3995, 4040, 4183, 4279, \\ &4344, 4404, 4532, 4543, 4571, 4611, 4628, 4776, 4955, 5176, 5263, 5384, 5451, 5496, \\ &5556, 5604, 5619, 5627, 5656, 5764, 5844, 5863, 5892, 6035, 6103, 6155, 6248, 6260, \\ &6276, 6308, 6347, 6424, 6436, 6456, 6520, 6539, 6680, 6707, 6788, 6895, 6915, 7015, \\ &7028, 7204, 7352, 7379, 7384, 7427, 7539, 7592, 7636, 7716, 7787, 7816, 8027, 8072, \\ &8099, 8132, 8376, 8435, 8440, 8584, 8596, 8660, 8723, 8868, 8952, 9032, 9080, 9256, \\ &9367, 9499, 9515, 9528, 9651, 9699, 9752, 9784, 9827, 9939, 9988, 10036, 10131, \\ &10219, 10235, 10371, 10555, 10835, 10936, 10947, 11012, 11044, 11064, 11128, 11147, \\ &11524, 11531, 11595, 11652, 11720, 11764, 11859, 11892, 12088, 12196, 12228, 12291, \\ &12340, 12388, 12443, 12520, 12563, 12728, 12755, 12819, 13051, 13107, 13108, 13115, \\ &13396, 13476, 13579, 13624, 13731, 13828, 13899, 14115, 14116, 14123, 14147, 14152, \\ &14232, 14248, 14568, 14644, 14692, 14712, 14772, 14803, 14920, 15051, 15108, 15124, \\ &15195, 15211, 15323, 15348, 15352, 15492, 15499, 15880, 15915, 15928, 16248, 16312, \\ &16564, 16635, 16755, 16840, 16852, 16891, 16955, 17139, 17155, 17179, 17243, 17259, \\ &17332, 17571, 17592, 17755, 17992, 18123, 18139, 18235, 18280, 18292, 18328, 18372, \\ &18435, 18483, 18683, 18843, 18852, 18931, 18955, 19128, 19131, 19459, 19795, 20059, \\ &20152, 20472, 20488, 20548, 20595, 20603, 20872, 20920, 21208, 21355, 21427, 21651, \\ &21688, 21795, 21891, 21955, 22219, 22408, 22548, 22683, 22795, 23332, 23403, 23608, \\ &23739, 23755, 23851, 23908, 24052, 24139, 24235, 24307, 24483, 24555, 24568, 24739, \\ &24772, 24987, 25051, 25323, 25348, 25459, 25491, 26152, 26440, 26443, 26611, 26632, \\ &26692, 26763, 27187, 27451, 27715, 27835, 27892, 27931, 28155, 28363, 28515, 28659, \\ &28660, 28707, 28792, 28795, 28923, 28995, 29752, 29995, 30027, 30115, 30243, 30355, \\ &30451, 30691, 30835, 30883, 31012, 31035, 31432, 31443, 31467, 31480, 32035, 32068, \\ &32187, 32227, 32347, 32515, 32755, 32932, 33027, 33115, 33195, 33243, 33307, 33387, \\ &33412, 33451, 33483, 33555, 33715, 33835, 34323, 34627, 34771, 34987, 35128, 35203, \\ &35755, 35827, 36147, 36403, 36427, 36499, 36595, 36712, 36835, 36907, 37027, 37048, \\ &37195, 37315, 37603, 37723, 38179, 38203, 38355, 38395, 38523, 38683, 38872, 39355, \\ &39379, 39747, 39748, 39867, 40107, 40315, 40603, 40843, 41043, 41155, 41395, 41587, \\ &41763, 41899, 41995, 42595, 42763, 42883, 43243, 43363, 43432, 43492, 44107, 44227, \\ &44347, 44419, 44452, 44467, 44515, 44707, 44803, 45112, 45147, 46347, 46627, 46915, \\ &47755, 48147, 48955, 49732, 49795, 49867, 49963, 50083, 50187, 51027, 51187, 52243, \\ &52483, 52507, 52867, 53155, 53188, 53587, 53683, 53755, 54283, 55363, 56035, 56683, \\ &56707, 57187, 57403, 57883, 58195, 59403, 60355, 61747, 62923, 63403, 63547, 65443, \\ &66235, 66427, 68755, 69283, 70267, 72403, 72787, 73123, 73627, 73747, 76987, 77443, \\ &77707, 82867, 93163, 96163, 106723, 107083, 113107, 126043\end{align}$

類数 $29$ (83個)

$\begin{align}&|D|=\\ &887, 2287, 2311, 2383, 2939, 3583, 3659, 3823, 4451, 4519, 5051, 5743, 6947, 7207, \\ &7643, 7687, 8863, 8963, 9323, 12323, 13763, 13883, 14387, 15139, 15227, 15443, \\ &15467, 15859, 16427, 17491, 20483, 20507, 22051, 23059, 23251, 24859, 25523, 28403, \\ &29587, 29723, 31051, 31387, 32299, 32971, 34267, 34819, 35227, 35731, 35803, 37339, \\ &42043, 43867, 45307, 46507, 47563, 49747, 51307, 55243, 58147, 61363, 65563, 65587, \\ &65827, 66067, 66523, 68947, 71563, 73243, 74827, 76003, 78163, 83227, 87523, 93283, \\ &95467, 95803, 97843, 101203, 101467, 110947, 128923, 134227, 166147\end{align}$

類数 $30$ (255個)

$\begin{align}&|D|=\\ &671, 815, 1007, 1844, 2036, 2071, 2191, 2264, 2319, 2599, 2708, 3188, 3223, 3284, \\ &3439, 3991, 4087, 4276, 4696, 4835, 4859, 4979, 5579, 5912, 6107, 6459, 6463, 6488, \\ &6535, 6635, 7087, 7115, 7303, 7576, 7835, 7971, 8259, 8267, 8367, 8483, 8948, 9019, \\ &9076, 9364, 9411, 9899, 10019, 10072, 10403, 10763, 11291, 11371, 11611, 11771, \\ &11899, 11944, 12003, 12219, 12244, 12436, 12568, 13067, 13096, 13336, 13371, 13379, \\ &13423, 13443, 13643, 13771, 13876, 13891, 14068, 14267, 14899, 14971, 15508, 15891, \\ &15976, 16024, 16099, 16323, 16403, 16552, 17428, 17691, 18091, 18107, 18331, 18635, \\ &18739, 19156, 19252, 19339, 19636, 19771, 20179, 20248, 20283, 20371, 20419, 20779, \\ &20971, 21003, 21592, 21748, 22411, 22427, 22612, 22667, 22696, 22915, 23179, 23363, \\ &23704, 23707, 23803, 23811, 24088, 24347, 24707, 24835, 24883, 25483, 25768, 25827, \\ &26563, 27112, 27227, 27403, 27627, 27688, 27843, 28563, 28648, 29011, 29067, 29083, \\ &29787, 29908, 30715, 31411, 31803, 32107, 32212, 32419, 33043, 33832, 34315, 34411, \\ &34467, 34708, 34792, 34915, 35179, 35515, 35635, 36052, 36619, 37459, 38515, 38539, \\ &38587, 39523, 39907, 40003, 40891, 41163, 41803, 42235, 42715, 42963, 43123, 43828, \\ &43843, 43915, 44323, 44907, 45043, 46923, 46963, 47227, 47347, 47611, 48003, 48043, \\ &48379, 48643, 48715, 49435, 49443, 49483, 50152, 50443, 50667, 51571, 51811, 52723, \\ &52843, 52987, 53035, 53467, 54883, 57003, 57688, 59683, 60283, 60307, 60747, 61315, \\ &62043, 63163, 64003, 64563, 64843, 64915, 65083, 66907, 67147, 67243, 67267, 67747, \\ &68203, 69883, 70107, 70723, 70987, 71635, 72067, 73003, 73987, 74947, 75067, 75667, \\ &76267, 78747, 79003, 80203, 81643, 82027, 82747, 84403, 85915, 87067, 88267, 88603, \\ &89035, 96427, 97267, 100963, 104203, 121003, 125227, 131107, 134467\end{align}$

類数 $31$ (73個)

$\begin{align}&|D|=\\ &719, 911, 2927, 3251, 3727, 3779, 4159, 4951, 5651, 6131, 6491, 7639, 8647, 9203, \\ &10427, 11863, 12347, 12923, 13043, 13219, 13687, 14627, 14731, 15923, 17987, 18803, \\ &19219, 20611, 24691, 24979, 28051, 32083, 32363, 35491, 38851, 39667, 39883, 41227, \\ &41539, 42307, 42571, 43987, 44851, 46867, 48523, 48883, 51787, 52027, 55987, 56467, \\ &56827, 61843, 63667, 66883, 67867, 70627, 71443, 72307, 73483, 75307, 76123, 76603, \\ &81283, 81547, 89107, 89563, 92467, 102547, 104707, 104827, 117307, 124987, 133387\end{align}$

類数 $32$ (708個)

$\begin{align}&|D|=\\ &791, 1119, 1239, 1463, 1551, 1767, 1784, 1943, 2084, 2180, 2276, 2343, 2840, 2847, \\ &2996, 3080, 3156, 3199, 3207, 3236, 3247, 3295, 3428, 3476, 3679, 3812, 3895, 4088, \\ &4296, 4340, 4495, 4584, 4647, 4767, 4868, 4884, 4964, 4980, 4996, 5012, 5064, 5192, \\ &5215, 5223, 5335, 5336, 5583, 5640, 5704, 5720, 5736, 5784, 5795, 5943, 6244, 6360, \\ &6392, 6440, 6567, 6683, 6692, 6995, 7059, 7140, 7176, 7183, 7208, 7464, 7752, 7832, \\ &7844, 7896, 8020, 8040, 8164, 8184, 8195, 8340, 8520, 8536, 8555, 8580, 8612, 8776, \\ &8795, 8824, 8891, 8931, 8980, 8987, 9060, 9087, 9156, 9192, 9240, 9291, 9316, 9348, \\ &9435, 9460, 9544, 9579, 9588, 9731, 9736, 9768, 9780, 9816, 9848, 9860, 9880, 9912, \\ &9960, 9991, 10024, 10052, 10084, 10276, 10327, 10356, 10419, 10468, 10532, 10547, \\ &10619, 10628, 10660, 10696, 10744, 10824, 10868, 10920, 10932, 10968, 11091, 11140, \\ &11195, 11284, 11316, 11332, 11380, 11387, 11451, 11460, 11571, 11739, 11784, 11796, \\ &11832, 11940, 11963, 12035, 12040, 12052, 12084, 12171, 12180, 12232, 12424, 12488, \\ &12580, 12616, 12660, 12664, 12792, 12803, 12804, 12840, 12948, 13048, 13272, 13307, \\ &13332, 13432, 13515, 13560, 13683, 13715, 13748, 13755, 13812, 13848, 13908, 13972, \\ &13988, 14020, 14088, 14280, 14299, 14344, 14388, 14395, 14424, 14584, 14728, 14795, \\ &14820, 15035, 15099, 15171, 15220, 15304, 15315, 15515, 15627, 15635, 15736, 15771, \\ &15796, 16008, 16035, 16043, 16051, 16203, 16212, 16388, 16419, 16440, 16467, 16504, \\ &16548, 16692, 16779, 16835, 16899, 16995, 16996, 17080, 17112, 17115, 17220, 17272, \\ &17284, 17355, 17524, 17608, 17656, 17688, 17731, 17795, 17880, 17899, 17963, 17995, \\ &18219, 18291, 18323, 18408, 18532, 18580, 18676, 18760, 18808, 18952, 18995, 19011, \\ &19108, 19227, 19240, 19272, 19299, 19320, 19380, 19411, 19560, 19608, 19635, 19720, \\ &19812, 19924, 19972, 19995, 20003, 20008, 20020, 20068, 20091, 20131, 20148, 20163, \\ &20235, 20251, 20267, 20315, 20344, 20356, 20379, 20539, 20643, 20715, 20740, 20811, \\ &20868, 21027, 21028, 21099, 21115, 21147, 21243, 21256, 21288, 21435, 21571, 21619, \\ &21736, 21828, 21867, 21912, 21939, 22083, 22132, 22152, 22155, 22227, 22276, 22360, \\ &22363, 22372, 22420, 22435, 22456, 22488, 22515, 22547, 22632, 22740, 22763, 22792, \\ &22971, 23028, 23043, 23123, 23140, 23155, 23187, 23268, 23299, 23380, 23620, 23640, \\ &23668, 23795, 23835, 23848, 23892, 23944, 23956, 23979, 24004, 24035, 24168, 24211, \\ &24259, 24267, 24472, 24603, 24712, 24808, 24868, 24931, 25187, 25291, 25315, 25419, \\ &25540, 25563, 25608, 25651, 25851, 25883, 25960, 26020, 26115, 26488, 26772, 26787, \\ &26788, 26931, 26980, 27028, 27220, 27268, 27339, 27363, 27379, 27412, 27595, 27707, \\ &27723, 27784, 27811, 27867, 28011, 28083, 28120, 28132, 28203, 28308, 28443, 28587, \\ &28708, 28788, 28803, 28840, 29352, 29380, 29428, 29512, 29523, 29572, 29643, 29667, \\ &29707, 29731, 29779, 29859, 29883, 29892, 29971, 30043, 30083, 30328, 30340, 30388, \\ &30435, 30547, 30552, 30580, 30595, 30760, 30963, 31227, 31291, 31395, 31515, 31867, \\ &31947, 32235, 32260, 32395, 32403, 32488, 32523, 32740, 32788, 32995, 33019, 33028, \\ &33283, 33352, 33523, 33592, 33595, 33603, 33672, 33748, 34755, 33787, 33915, 33987, \\ &33988, 34035, 34099, 34312, 34420, 34539, 34552, 34612, 34699, 34707, 34840, 35155, \\ &35380, 35467, 35512, 35587, 35763, 35848, 36115, 36355, 36363, 36472, 36507, 36772, \\ &36808, 36915, 36955, 37083, 37492, 37515, 37587, 37720, 37732, 37795, 37947, 38131, \\ &38152, 38248, 38283, 38308, 38595, 38643, 38787, 38883, 38995, 39027, 39067, 39235, \\ &39427, 39435, 39460, 39547, 39835, 39928, 39955, 40132, 40227, 40267, 40443, 40467, \\ &40552, 40755, 40803, 41547, 41848, 41883, 41923, 42123, 42148, 42211, 42232, 42568, \\ &42603, 42627, 42843, 43147, 43323, 43435, 43507, 43555, 43563, 43795, 44020, 44067, \\ &44115, 44251, 44731, 44787, 45235, 45283, 45508, 45595, 45843, 46083, 46132, 46468, \\ &46483, 46852, 47163, 47188, 47307, 47323, 47523, 47539, 47595, 47803, 48328, 48931, \\ &49252, 49515, 49912, 50043, 50347, 50955, 50968, 51163, 51403, 51592, 51748, 51843,\\ &52003, 52683, 52795, 53227, 53515, 53635, 53947, 53995, 54147, 54363, 54427, 54595, \\ &54712, 54723, 55267, 55315, 55507, 55672, 56067, 56083, 56155, 56587, 56667, 56803, \\ &56851, 56995, 57043, 57387, 57715, 57835, 57907, 58003, 58083, 58123, 58387, 58468, \\ &58795, 58888, 58987, 59187, 59203, 59371, 59563, 60019, 60027, 60187, 60292, 60643, \\ &61963, 62107, 62227, 62283, 62395, 63427, 63883, 64227, 64947, 65307, 65395, 65668, \\ &66243, 66595, 67123, 67195, 67323, 67483, 67587, 67603, 67827, 68803, 69115, 69595, \\ &69843, 70603, 71323, 71395, 71467, 72187, 72867, 73027, 73315, 73723, 73803, 74347, \\ &74523, 74635, 74683, 74803, 75835, 76323, 76843, 76867, 77947, 77995, 78115, 80067, \\ &81403, 81907, 82243, 82555, 83923, 85963, 86683, 87283, 87763, 88627, 89347, 89947, \\ &90883, 91267, 91795, 91947, 94627, 94963, 97483, 104083, 105763, 105835, 110443, \\ &115147, 119947, 120187, 122683, 124195, 130123, 136843, 159307, 164803\end{align}$

類数 $33$ (101個)

$\begin{align}&|D|=\\ &839, 1583, 1951, 2423, 3967, 4091, 4423, 4567, 4663, 4831, 4999, 5167, 5623, 5791, \\ &6343, 6823, 6967, 7331, 7351, 7499, 8167, 9011, 12619, 13183, 13619, 13931, 14251, \\ &15299, 16619, 17419, 18691, 19163, 21347, 21563, 24019, 25411, 28027, 28163, 28579, \\ &29243, 29611, 31219, 32059, 32251, 32707, 33811, 34747, 35267, 36931, 40123, 41443, \\ &41611, 42379, 43627, 44179, 46099, 46747, 49363, 49459, 50971, 52747, 54091, 54499, \\ &54547, 55339, 55843, 58363, 63211, 63331, 65323, 65899, 66403, 67723, 75883, 76507, \\ &79843, 80683, 81307, 82387, 84067, 88867, 89203, 90547, 92107, 92227, 93787, 96787, \\ &102523, 103723, 106243, 107347, 115963, 117643, 121867, 129187, 142123, 160483, \\ &161947, 175723, 191563, 222643\end{align}$

類数 $34$ (219個)

$\begin{align}&|D|=\\ &1079, 1343, 1415, 2103, 2119, 2391, 2456, 2463, 2804, 3031, 3183, 3287, 4303, 4331, \\ &4499, 4927, 5108, 5287, 5339, 5411, 5459, 5672, 6184, 6376, 6731, 6932, 7251, 7327, \\ &7508, 7711, 7859, 7863, 8047, 8051, 8104, 8116, 8936, 9223, 9332, 9535, 9556, 9703, \\ &10931, 11672, 12184, 12247, 12707, 12916, 13012, 13204, 14131, 14228, 14379, 14435, \\ &14708, 15016, 15459, 15779, 15947, 16971, 17044, 17363, 17547, 17611, 18467, 18827, \\ &19048, 19347, 20788, 21331, 21923, 22228, 22312, 22731, 23147, 23611, 23659, 23963, \\ &24148, 24803, 25003, 25876, 26008, 26259, 26419, 26547, 26867, 26899, 27019, 27123, \\ &27928, 28043, 29035, 29332, 29507, 29608, 30232, 30568, 30808, 31403, 32152, 32179, \\ &33139, 33268, 33499, 33707, 33907, 34339, 34723, 35011, 36019, 36987, 37915, 38107, \\ &38899, 39363, 39691, 39811, 40168, 40947, 41371, 41731, 42115, 43107, 43531, 43603, \\ &44011, 44083, 44827, 45019, 45483, 45928, 45931, 45987, 46579, 47467, 48211, 48808, \\ &48835, 49027, 50731, 50947, 51235, 51963, 51979, 52435, 53043, 53203, 53608, 53659, \\ &54187, 54523, 55192, 55203, 57643, 58627, 59035, 59227, 60043, 60067, 60163, 60328, \\ &60712, 60787, 62803, 63187, 63523, 63739, 64027, 64339, 65347, 65635, 65643, 65787, \\ &65947, 67435, 68347, 68587, 68923, 70963, 71083, 71227, 71803, 72235, 73588, 74467, \\ &75643, 75763, 76435, 78835, 79267, 80371, 80403, 83323, 84883, 86563, 89763, 90715, \\ &91123, 91603, 91963, 94147, 94867, 96523, 100507, 107515, 110707, 111787, 123523, \\ &126163, 134803, 138307, 139507, 143683, 144523, 145387, 168667, 184867, 189883\end{align}$

類数 $35$ (103個)

$\begin{align}&|D|=\\ &1031, 1223, 2087, 2239, 2543, 4259, 4931, 5171, 5939, 6899, 7211, 7451, 7523, 8219, \\ &8363, 8699, 9007, 9419, 10979, 11411, 11503, 12007, 14939, 15803, 16451, 16651, \\ &17123, 18451, 19259, 20731, 22787, 23011, 24203, 24547, 26387, 26723, 28411, 33619, \\ &36643, 37483, 37907, 37987, 38971, 39499, 39979, 40099, 40507, 41947, 42187, 42499, \\ &44203, 49003, 50587, 52363, 53299, 53419, 54403, 54907, 54979, 56443, 60427, 61603, \\ &61723, 62323, 62467, 62827, 65011, 65707, 65851, 66643, 71707, 72643, 76147, 77323, \\ &77347, 78307, 81883, 82483, 82723, 83059, 83203, 83563, 85843, 87427, 88003, 95923, \\ &101347, 102643, 104323, 106747, 109267, 111043, 113227, 116803, 117163, 122203, \\ &127843, 132283, 135403, 141667, 144307, 205627, 210907\end{align}$

類数 $36$ (668個)

$\begin{align}&|D|=\\ &959, 1055, 1295, 1599, 1727, 1967, 2199, 2504, 2516, 2895, 3055, 3495, 3656, 3711, \\ &3716, 3896, 3956, 4164, 4255, 4280, 4388, 4472, 4615, 4619, 4623, 4664, 4772, 5007, \\ &5048, 5055, 5063, 5156, 5240, 5291, 5316, 5343, 5455, 5636, 5732, 5767, 5960, 6015, \\ &6055, 6063, 6087, 6164, 6371, 6583, 6756, 6851, 6852, 6920, 7172, 7259, 7284, 7287, \\ &7336, 7355, 7412, 7543, 7608, 7652, 7807, 7864, 7908, 8056, 8139, 8196, 8215, 8407, \\ &8468, 8571, 8644, 8695, 8724, 8767, 8792, 9012, 9055, 9064, 9155, 9272, 9444, 9615, \\ &9668, 9844, 10088, 10324, 10504, 10536, 10595, 10995, 11080, 11112, 11224, 11407, \\ &11540, 11555, 11588, 11723, 11795, 11843, 12131, 12395, 12531, 12579, 12612, 12676, \\ &12683, 12727, 12795, 12995, 13028, 13091, 13092, 13112, 13240, 13283, 13355, 13368, \\ &13480, 13547, 13659, 13955, 13971, 14003, 14052, 14056, 14187, 14287, 14315, 14483, \\ &14603, 14680, 14776, 14955, 15064, 15160, 15172, 15544, 15556, 15587, 15684, 15811, \\ &15943, 15963, 16036, 16059, 16168, 16516, 16756, 16788, 16804, 16851, 16939, 16984, \\ &17140, 17176, 17188, 17224, 17236, 17251, 17252, 17320, 17348, 17448, 17512, 17715, \\ &17979, 17988, 18003, 18051, 18155, 18244, 18264, 18520, 18552, 18555, 18659, 18707, \\ &18804, 18923, 18943, 18948, 19043, 19060, 19155, 19187, 19283, 19336, 19348, 19428, \\ &19515, 19588, 19624, 19643, 19667, 19752, 19779, 20056, 20168, 20363, 20388, 20451, \\ &20515, 20568, 20584, 20612, 20651, 21291, 21507, 21515, 21604, 21732, 21811, 21832, \\ &21880, 21931, 22043, 22163, 22168, 22195, 22355, 22395, 22708, 22819, 22899, 22948, \\ &23080, 23092, 23163, 23208, 23259, 23387, 23412, 23428, 23507, 23619, 23635, 23691, \\ &23860, 23883, 23928, 23955, 23992, 24280, 24312, 24340, 24520, 24616, 25067, 25188, \\ &25251, 25252, 25288, 25395, 25512, 25528, 25635, 25672, 25720, 25811, 25828, 25864, \\ &25995, 26067, 26131, 26139, 26155, 26212, 26283, 26308, 26328, 26491, 26779, 26843, \\ &27147, 27172, 27203, 27355, 27507, 27640, 27976, 28228, 28291, 28408, 28452, 28468, \\ &28504, 28667, 28744, 28932, 28947, 28987, 29003, 29032, 29044, 29080, 29163, 29235, \\ &29307, 29320, 29371, 29419, 29451, 29491, 29595, 29899, 29955, 30052, 30136, 30171, \\ &30468, 30648, 30712, 30948, 30952, 31027, 31107, 31171, 31195, 31283, 31363, 31555, \\ &31672, 31908, 32011, 32019, 32131, 32195, 32248, 32440, 32628, 32872, 32963, 32968, \\ &33259, 33355, 33691, 33828, 33928, 33940, 33955, 33979, 34120, 34195, 34395, 34555, \\ &34563, 34728, 34787, 34867, 34948, 34995, 35539, 35563, 35652, 35992, 36088, 36148, \\ &36292, 36388, 36579, 36715, 36859, 36964, 37192, 37219, 37347, 37480, 37531, 37731, \\ &37819, 37972, 38123, 38163, 38235, 38488, 38712, 38755, 38947, 38987, 39412, 39571, \\ &39736, 39832, 39923, 39988, 40072, 40307, 40643, 40692, 40840, 40852, 40888, 40963, \\ &41572, 42355, 42520, 42619, 42739, 42868, 43012, 43192, 43195, 43288, 43528, 43635, \\ &43827, 44155, 44283, 44395, 44632, 44635, 44755, 45028, 45067, 45187, 45355, 45547, \\ &45627, 45643, 45739, 45835, 46315, 46435, 46443, 46555, 46587, 46699, 46792, 46803, \\ &47067, 47128, 47155, 47272, 47572, 47635, 48052, 48067, 48235, 48307, 48388, 48451, \\ &48472, 48532, 48568, 48603, 48667, 48868, 49683, 49827, 50059, 50155, 50163, 50212, \\ &50467, 50488, 50523, 50632, 50755, 50835, 51195, 51387, 51595, 51955, 52228, 52707, \\ &53131, 53443, 53547, 53803, 53848, 53971, 54195, 54355, 54643, 54835, 55155, 55227, \\ &55387, 55443, 55528, 55531, 55707, 55723, 55995, 56491, 56515, 56548, 56563, 56632, \\ &57355, 57955, 58227, 58312, 58531, 58755, 59323, 59395, 59803, 59812, 60235, 60483, \\ &60955, 61048, 61219, 61267, 61387, 61555, 61699, 61867, 62419, 62587, 62995, 63123, \\ &63643, 63988, 64408, 64603, 64867, 65107, 65283, 65803, 65923, 66355, 66532, 66955, \\ &67027, 67803, 67972, 68467, 68632, 68827, 69043, 69787, 69907, 69955, 69987, 70228, \\ &70323, 70363, 70555, 70995, 71107, 71203, 71611, 72363, 72451, 72627, 73963, 74083, \\ &74155, 74563, 74755, 75112, 75355, 75427, 76027, 76483, 77107, 77155, 77203, 77467, \\ &77883, 77907, 78187, 78772, 78883, 79555, 80467, 80563, 81187, 81355, 81867, 82147, \\ &82195, 82363, 83395, 84232, 84235, 84595, 84667, 85003, 85012, 85867, 86107, 87043, \\ &87235, 87355, 88027, 88147, 88243, 88363, 89587, 89643, 90043, 90955, 91627, 92827, \\ &92995, 93067, 93667, 93867, 93907, 94243, 95155, 95347, 95587, 97507, 98107, 98827, \\ &99507, 99955, 100027, 100123, 101707, 101803, 102243, 103987, 104587, 105043, \\ &105627, 107803, 108355, 108595, 109627, 110467, 111547, 111883, 112387, 112795, \\ &112963, 113523, 114403, 115627, 116083, 117187, 118987, 120547, 122707, 122803, \\ &123355, 124723, 127387, 129907, 131587, 133555, 136123, 140107, 140155, 142363, \\ &143707, 145027, 151123, 151963, 156907, 158827, 159427, 169603, 175123, 184507, \\ &197563, 204787, 205363, 207883, 211843, 217627\end{align}$

類数 $37$ (85個)

$\begin{align}&|D|=\\ &1487, 2447, 3391, 5839, 6367, 8147, 9803, 10739, 12343, 12583, 12967, 14767, 15259, \\ &16927, 18947, 19403, 20011, 20147, 21139, 21587, 22807, 23371, 23627, 26731, 28283, \\ &28307, 31699, 31723, 36691, 37171, 37243, 38371, 39139, 39451, 40531, 41659, 42283, \\ &42443, 43051, 43283, 43891, 45691, 47059, 47251, 47419, 48907, 49843, 52579, 54163, \\ &56659, 59083, 59443, 59779, 61627, 62659, 63907, 64123, 67699, 69259, 70123, 70867, \\ &76243, 80803, 81043, 86587, 87187, 88747, 90403, 92203, 96259, 97003, 99523, 99907, \\ &103483, 108907, 110587, 115987, 120283, 126547, 133963, 136987, 142963, 147163, \\ &155443, 158923\end{align}$

類数 $38$ (237個)

$\begin{align}&|D|=\\ &1199, 1535, 1671, 2031, 3047, 3415, 4916, 5127, 5528, 6423, 6548, 6559, 6927, 7016, \\ &7091, 7135, 7444, 8276, 8315, 8651, 8939, 8983, 9179, 9487, 9524, 9659, 9727, 9908, \\ &10216, 10715, 10779, 10984, 11432, 11463, 11507, 11915, 12779, 12904, 13667, 14099, \\ &14164, 14296, 14312, 14527, 14623, 15203, 15571, 16163, 16216, 16615, 17411, 17603, \\ &17768, 17867, 17972, 18388, 18499, 19063, 19288, 19307, 19523, 20499, 20571, 20632, \\ &20843, 21259, 21451, 22115, 22299, 22552, 22804, 22888, 24227, 24331, 25107, 25492, \\ &26851, 26932, 27443, 27563, 27571, 28491, 28651, 28915, 29515, 29539, 30292, 30424, \\ &30563, 30811, 31299, 31427, 31459, 31732, 31819, 32404, 32811, 33443, 33819, 34107, \\ &35611, 36136, 36339, 36379, 36443, 36532, 36843, 37267, 37427, 37667, 37864, 37923, \\ &38323, 38491, 38644, 39147, 39587, 39723, 39763, 40291, 40371, 40792, 42027, 42243, \\ &42388, 42523, 43171, 43187, 43219, 43348, 43899, 43939, 43971, 44248, 44692, 44788, \\ &45163, 46003, 46707, 46708, 47283, 47683, 47899, 48651, 49051, 49083, 49099, 49492, \\ &50659, 51139, 51412, 51928, 52315, 52467, 52648, 53083, 54259, 54267, 54451, 54811, \\ &55483, 57307, 57619, 58612, 59347, 59515, 59923, 60715, 62515, 62547, 63267, 63715, \\ &63787, 64363, 64507, 65752, 66163, 70683, 71515, 72052, 74068, 76363, 78043, 80515, \\ &80587, 80635, 80763, 81811, 83427, 83491, 84187, 85387, 88507, 90267, 91435, 92731, \\ &94123, 94803, 97147, 100627, 101827, 102187, 102307, 102403, 103363, 105067, \\ &105163, 105172, 106387, 107443, 112003, 113323, 113587, 113635, 115483, 115747, \\ &118003, 118867, 121027, 121587, 121972, 125827, 128107, 128227, 129163, 130243, \\ &130747, 132427, 132883, 142387, 143203, 145867, 168907, 193747, 196123, 229387, \\ &289963\end{align}$

類数 $39$ (115個)

$\begin{align}&|D|=\\ &1439, 2207, 2791, 3767, 3919, 4111, 5099, 5119, 6199, 6779, 9059, 9967, 10091, 10163, \\ &10399, 10567, 10667, 11743, 12539, 13163, 13523, 14843, 14867, 15607, 16087, 16139, \\ &16787, 17383, 18127, 21851, 23027, 24499, 26539, 27827, 30211, 30347, 30803, 32027, \\ &32491, 32611, 33931, 34283, 36467, 37643, 39019, 40699, 41179, 41299, 41507, 43411, \\ &44971, 48563, 49891, 49939, 50131, 50539, 50923, 52067, 52963, 54139, 55291, 56923, \\ &58171, 58699, 62683, 64579, 66931, 67987, 68227, 70459, 70507, 70843, 72763, 72907, \\ &73819, 74923, 75979, 76099, 77587, 78427, 81163, 82507, 82963, 84307, 88411, 90187, \\ &93427, 95083, 95947, 96907, 98323, 99643, 99787, 100003, 100363, 105667, 109987, \\ &112363, 113947, 114643, 117763, 119827, 121123, 123307, 128347, 131707, 135283, \\ &135787, 138403, 150067, 163027, 166027, 176467, 181603, 253507\end{align}$

類数 $40$ (912個)

$\begin{align}&|D|=\\ &1271, 1839, 2255, 2415, 2559, 2751, 2756, 2919, 2936, 2959, 3044, 3135, 3255, 3399, \\ &3423, 3524, 3704, 3927, 4004, 4047, 4071, 4407, 4607, 4760, 4807, 4820, 4836, 4856, \\ &5060, 5143, 5191, 5304, 5367, 5727, 6020, 6036, 6212, 6324, 6807, 6980, 6996, 7063, \\ &7080, 7112, 7224, 7268, 7316, 7364, 7423, 7476, 7503, 7527, 7684, 7739, 7860, 7940, \\ &8120, 8247, 8312, 8372, 8411, 8436, 8484, 8607, 8616, 8708, 8904, 8996, 9035, 9128, \\ &9131, 9183, 9188, 9608, 9620, 9636, 9796, 9992, 9995, 10020, 10056, 10063, 10087, \\ &10263, 10340, 10451, 10472, 10491, 10495, 10659, 10680, 10712, 10767, 10787, 10983, \\ &11076, 11108, 11240, 11256, 11352, 11455, 11464, 11476, 11487, 11496, 11508, 11544, \\ &11640, 11704, 11716, 11768, 11960, 12004, 12099, 12127, 12136, 12212, 12264, 12356, \\ &12371, 12459, 12484, 12648, 12692, 12939, 12964, 13128, 13188, 13179, 13251, 13255, \\ &13299, 13380, 13384, 13403, 13412, 13595, 13640, 13764, 13768, 13832, 13892, 13927, \\ &13992, 14091, 14363, 14372, 14404, 14484, 14596, 14619, 14628, 14691, 14740, 14916, \\ &15060, 15204, 15240, 15252, 15316, 15347, 15368, 15395, 15416, 15432, 15572, 15604, \\ &15699, 15720, 15780, 15992, 16116, 16120, 16131, 16152, 16180, 16235, 16276, 16296, \\ &16356, 16536, 16579, 16643, 16667, 16687, 16708, 16744, 16771, 16783, 16932, 16968, \\ &17256, 17268, 17499, 17619, 17647, 17835, 17848, 17860, 17931, 18120, 18147, 18184, \\ &18312, 18452, 18456, 18699, 18708, 18820, 18888, 18916, 18939, 18964, 19092, 19096, \\ &19144, 19352, 19371, 19432, 19448, 19572, 19576, 19595, 19780, 20104, 20212, 20244, \\ &20440, 20532, 20616, 20644, 20680, 20795, 20859, 20867, 20904, 21092, 21156, 21192, \\ &21219, 21220, 21432, 21459, 21460, 21576, 21588, 21624, 21827, 21892, 22011, 22020, \\ &22035, 22120, 22187, 22516, 22523, 22564, 22659, 22660, 22692, 22755, 22827, 22936, \\ &23016, 23160, 23236, 23320, 23331, 23547, 23556, 23732, 23779, 23843, 24040, 24136, \\ &24196, 24232, 24424, 24459, 24467, 24468, 24531, 24612, 24648, 24676, 24792, 24820, \\ &24852, 25019, 25032, 25096, 25140, 25179, 25203, 25332, 25336, 25355, 25384, 25428, \\ &25547, 25555, 25908, 26027, 26056, 26059, 26123, 26292, 26315, 26403, 26452, 26483, \\ &26680, 26691, 26835, 26872, 26884, 27064, 27160, 27208, 27235, 27347, 27395, 27460, \\ &27528, 27555, 27592, 27672, 27699, 27748, 27795, 27880, 27939, 28180, 28195, 28212, \\ &28339, 28612, 28819, 28835, 28851, 28968, 29092, 29211, 29220, 29299, 29379, 29427, \\ &29716, 29764, 29812, 29848, 29931, 29992, 30003, 30019, 30227, 30244, 30408, 30520, \\ &30531, 30628, 30747, 30792, 30856, 30947, 31067, 31108, 31128, 31155, 31179, 31188, \\ &31192, 31540, 31588, 31780, 31787, 31812, 31960, 32088, 32091, 32116, 32232, 32259, \\ &32308, 32344, 32356, 32392, 32548, 32632, 32680, 32692, 32739, 32763, 32867, 32907, \\ &33123, 33208, 33267, 33339, 33364, 33460, 33627, 33891, 33892, 34008, 34131, 34168, \\ &34180, 34228, 34248, 34372, 34468, 34595, 34795, 35032, 35067, 35092, 35187, 35371, \\ &35387, 35395, 35428, 35508, 35571, 35592, 35627, 35688, 35787, 35812, 35835, 35860, \\ &35908, 35979, 36040, 36051, 36232, 36267, 36408, 36411, 36435, 36760, 36771, 36867, \\ &36952, 37051, 37059, 37156, 37403, 37635, 37668, 37768, 38019, 38068, 38091, 38212, \\ &38292, 38392, 38472, 38483, 38667, 38731, 38740, 38788, 38827, 38868, 38920, 39099, \\ &39172, 39243, 39508, 39531, 39595, 39652, 39768, 39931, 39963, 40035, 40120, 40228, \\ &40308, 40411, 40420, 40515, 40539, 40579, 40612, 40648, 40683, 40708, 40756, 41107, \\ &41188, 41451, 41595, 41608, 41619, 41752, 41979, 42052, 42648, 42931, 42952, 42987, \\ &43099, 43108, 43203, 43347, 43395, 43752, 43883, 43912, 43972, 44003, 44212, 44328, \\ &44427, 44440, 44488, 44643, 44715, 44968, 44995, 45172, 45435, 45448, 45451, 45507, \\ &45592, 45715, 45732, 45832, 45883, 45915, 45955, 46123, 46155, 46228, 46291, 46456, \\ &46531, 46995, 47035, 47140, 47235, 47667, 47688, 47752, 47787, 47811, 47832, 48027, \\ &48280, 48355, 48507, 48739, 48867, 49060, 49192, 49195, 49291, 49315, 49555, 49803, \\ &49915, 49960, 50011, 50260, 50451, 50611, 50635, 50747, 50779, 50827, 50907, 51267, \\ &51555, 51627, 51763, 51832, 51835, 52099, 52132, 52171, 52347, 52459, 52563, 52852, \\ &53032, 53107, 53139, 53179, 53251, 53320, 53491, 53539, 53643, 53867, 54003, 54052, \\ &54067, 54483, 54532, 54580, 54955, 55048, 55108, 55347, 55627, 55699, 55915, 55960, \\ &55972, 56308, 56427, 56523, 56883, 56968, 57220, 57352, 57507, 57723, 57891, 58107, \\ &58339, 58435, 58459, 58587, 58683, 58939, 59059, 59163, 59272, 59299, 59547, 59572, \\ &59587, 59755, 59763, 59827, 59908, 60243, 60595, 60627, 60667, 60820, 60963, 61035, \\ &61195, 61203, 61243, 61579, 61588, 61755, 61768, 61912, 61923, 62008, 62035, 62115, \\ &62187, 62308, 62692, 62899, 62907, 62980, 63268, 63352, 63507, 63595, 63627, 63688, \\ &63723, 63979, 64219, 64612, 64723, 64803, 64948, 65032, 65059, 65163, 65608, 66091, \\ &66283, 66547, 66691, 66747, 66859, 66867, 67288, 67348, 67459, 67467, 67555, 67683, \\ &67732, 68035, 68187, 68635, 68667, 68763, 68907, 69028, 69355, 69483, 69652, 69892, \\ &70147, 70203, 70312, 70795, 70819, 70915, 71128, 71131, 71155, 71355, 71428, 71779, \\ &71835, 71908, 71923, 72427, 72523, 72571, 72835, 73147, 73195, 73227, 73507, 73672, \\ &74011, 74035, 74067, 74107, 74443, 74515, 75147, 75187, 75523, 76035, 76708, 76795, \\ &77043, 77092, 77515, 77848, 78379, 78387, 78523, 78667, 79347, 79387, 79747, 79795, \\ &80788, 80947, 81267, 82168, 82923, 83107, 83307, 83715, 83787, 83803, 83883, 84643, \\ &84723, 85171, 85555, 85723, 85768, 86307, 86443, 86827, 86907, 87595, 87787, 87987, \\ &88323, 88795, 89707, 89755, 90003, 90115, 90643, 90843, 91147, 91843, 92163, 92667, \\ &92803, 93235, 93403, 95043, 95188, 95428, 95635, 96328, 97603, 97867, 97923, 98683, \\ &98707, 98763, 99003, 99067, 99115, 99235, 99355, 99547, 100147, 100587, 101515, \\ &101523, 101563, 102355, 102883, 103195, 103555, 103915, 104395, 104443, 104547, \\ &104995, 105307, 105427, 105547, 106507, 106563, 107107, 107587, 107683, 108067, \\ &108123, 108427, 108763, 108868, 109432, 109915, 110643, 113563, 114115, 114163, \\ &115243, 115347, 115707, 115795, 115867, 116683, 116755, 117667, 118123, 118363, \\ &118507, 118963, 119443, 119515, 119683, 120523, 120712, 121795, 122395, 123043, \\ &123715, 124243, 124483, 125283, 126883, 126907, 128395, 130603, 131035, 131443, \\ &131923, 133827, 138187, 138667, 139315, 139363, 141523, 145203, 146707, 148267, \\ &148603, 149515, 149923, 151435, 152587, 153043, 153147, 154603, 156403, 160987, \\ &167563, 174427, 174595, 175987, 177067, 178795, 180163, 181267, 182515, 191107, \\ &193627, 196267, 200083, 215923, 227203, 232243, 250387, 260947\end{align}$

類数 $41$ (109個)

$\begin{align}&|D|=\\ &1151, 2551, 2719, 3079, 3319, 3511, 6143, 9319, 9467, 10499, 10903, 11047, 11483, \\ &11719, 11987, 12227, 12611, 13567, 14051, 14411, 14887, 14983, 16067, 16187, 19763, \\ &20407, 20771, 21487, 22651, 24971, 25171, 26891, 26987, 27739, 28547, 29059, 29251, \\ &30859, 32779, 35251, 35851, 35923, 36107, 37699, 38747, 39619, 40163, 41467, 41491, \\ &42323, 42787, 43963, 46147, 46187, 47491, 56179, 56779, 57803, 64891, 67531, 70051, \\ &71347, 71899, 74587, 75211, 81019, 82219, 87403, 87547, 89611, 90907, 91243, 92347, \\ &94483, 96667, 96763, 97651, 102043, 103867, 105883, 107563, 108187, 114067, \\ &116923, 117427, 118603, 124147, 128563, 130267, 130363, 133723, 136483, 137707, \\ &138763, 139483, 140827, 146323, 151243, 151507, 161683, 163003, 170347, 177907, \\ &188827, 194443, 199483, 201667, 239803, 296587\end{align}$

類数 $42$ (339個)

$\begin{align}&|D|=\\ &1959, 2183, 2911, 3039, 3176, 3687, 3831, 4039, 4103, 4184, 4735, 4904, 4952, 5288, \\ &5935, 5959, 6179, 6452, 6487, 6611, 6623, 6632, 6836, 7447, 7604, 7811, 7892, 7988, \\ &8459, 8552, 8579, 8744, 8852, 9368, 9428, 9607, 10231, 10643, 10772, 10996, 11023, \\ &11099, 11263, 12223, 12632, 12827, 12968, 13211, 13652, 14451, 14507, 14836, 15668, \\ &15871, 16052, 16792, 17012, 17315, 17396, 17432, 18247, 18619, 19112, 19291, 19715, \\ &19883, 20027, 20211, 20931, 20968, 20987, 21691, 21979, 22235, 22324, 22459, 22835, \\ &24532, 24811, 25204, 25624, 25684, 26072, 26747, 26907, 27316, 27331, 27499, 27667, \\ &27859, 28264, 28852, 29272, 29499, 29747, 31156, 31371, 31523, 31912, 32539, 32659, \\ &32667, 32728, 33963, 34072, 35176, 35779, 35971, 36123, 36184, 36227, 36811, 37203, \\ &37435, 37588, 37939, 38059, 38067, 38251, 38452, 38932, 39003, 39316, 39448, 39683, \\ &40219, 40372, 40408, 40435, 41059, 41368, 41512, 41779, 41812, 42531, 42811, 42827, \\ &42947, 43115, 43156, 43315, 43459, 43467, 43547, 44008, 44779, 45091, 45203, 45268, \\ &45411, 45544, 46131, 46651, 46843, 46883, 46891, 46939, 46987, 47131, 47371, 47427, \\ &47512, 47643, 47848, 48148, 48232, 48403, 49067, 49108, 50203, 50491, 50548, 50603, \\ &51523, 51715, 51892, 52187, 52219, 52372, 52411, 52827, 53272, 53347, 53707, 54123, \\ &54388, 54772, 54987, 55563, 55771, 56011, 56872, 57547, 58267, 58747, 59251, 59667, \\ &59987, 59992, 60211, 60403, 61323, 61492, 62932, 63235, 63592, 64552, 64707, 64963, \\ &64987, 65227, 65332, 65515, 66307, 67387, 68131, 68307, 69243, 69451, 70827, 72715, \\ &72843, 73012, 74227, 74251, 75163, 75331, 75363, 76315, 76723, 76939, 76948, 77032, \\ &77083, 78808, 79435, 80035, 80083, 80488, 80827, 81139, 81763, 82123, 83587, 83683, \\ &84715, 85123, 85747, 86452, 86872, 87907, 88123, 88372, 89323, 90667, 92947, 93643, \\ &93883, 94411, 95272, 95683, 97315, 99283, 99427, 99691, 100387, 100843, 100867, \\ &100923, 103315, 105403, 105715, 108403, 108483, 110427, 112123, 112267, 113667, \\ &113707, 116251, 116323, 117748, 118267, 118435, 119347, 120115, 120723, 121627, \\ &122523, 125203, 126283, 126667, 126835, 127003, 127915, 128083, 129067, 129427, \\ &129787, 134107, 134635, 135067, 136147, 136507, 139843, 140947, 141187, 142003, \\ &144643, 145147, 147427, 147883, 147907, 150763, 151747, 152707, 156067, 159283, \\ &160843, 165643, 166387, 166483, 169723, 170923, 174043, 177643, 178483, 180427, \\ &180763, 189403, 193363, 200803, 202603, 203347, 223267, 224323, 230323, 235867, \\ &280267\end{align}$

類数 $43$ (106個)

$\begin{align}&|D|=\\ &1847, 2663, 3631, 5407, 5479, 6247, 6299, 7019, 7039, 7691, 8263, 8527, 8887, 10211, \\ &10259, 10343, 12511, 14747, 15971, 17623, 18439, 18731, 20123, 20743, 20747, 22303, \\ &23003, 23539, 24179, 25219, 25339, 25643, 27107, 29179, 30259, 31531, 33587, 35059, \\ &36451, 38011, 38611, 40819, 41011, 42139, 42683, 44371, 46723, 48187, 50707, 52267, \\ &54787, 56123, 57467, 59107, 62731, 65179, 69931, 70003, 71971, 73651, 74131, 75931, \\ &76387, 77491, 78283, 79531, 82699, 85363, 86323, 86467, 91387, 98011, 98467, 99667, \\ &102763, 106867, 108739, 110323, 116443, 118147, 121507, 134443, 134947, 137443, \\ &144883, 146203, 148723, 148747, 152443, 154723, 168067, 169843, 172027, 177787, \\ &183283, 193603, 194083, 200323, 200467, 206347, 253243, 255907, 259627, 276763, \\ &289843, 300787\end{align}$

類数 $44$ (691個)

$\begin{align}&|D|=\\ &1391, 1631, 1655, 1919, 2135, 2271, 2567, 2967, 3416, 3464, 3855, 3860, 3944, 3983, \\ &4136, 4143, 4196, 4215, 4223, 4351, 4471, 4484, 4520, 4695, 4711, 5480, 5559, 5624, \\ &5671, 5695, 5771, 5983, 6152, 6344, 6351, 6511, 6564, 6584, 6631, 6735, 6744, 6799, \\ &6968, 7023, 7231, 7567, 7663, 7783, 7855, 7903, 7931, 7955, 7967, 7979, 8356, 8911, \\ &9336, 9447, 9611, 9635, 9847, 9956, 10047, 10255, 10280, 10292, 10376, 10596, 10887, \\ &10955, 11028, 11095, 11167, 11192, 11315, 11364, 11688, 11732, 11815, 11931, 12216, \\ &12308, 12452, 12655, 12856, 13044, 13172, 13656, 13684, 13735, 13816, 14023, 14047, \\ &14195, 14356, 14459, 14487, 14579, 14744, 14808, 14979, 15128, 15320, 15332, 15491, \\ &15672, 16696, 16739, 15755, 15995, 16115, 16135, 16523, 16952, 17095, 17124, 17192, \\ &17211, 17331, 17412, 17507, 17508, 17555, 17652, 17859, 18055, 18168, 18376, 18436, \\ &18516, 18616, 18703, 18740, 18904, 18967, 19067, 19384, 19480, 19540, 19688, 19748, \\ &19851, 19859, 19896, 19955, 19960, 20195, 20243, 20372, 20387, 20452, 20523, 20596, \\ &20836, 20851, 20964, 21035, 21127, 21144, 21396, 21640, 21844, 21940, 21976, 22024, \\ &22328, 22379, 22388, 22520, 22648, 22840, 22872, 22927, 22955, 23172, 23192, 23464, \\ &23483, 23723, 23748, 23812, 24328, 24484, 24387, 24728, 24760, 25043, 25059, 25131, \\ &25192, 25327, 25572, 25656, 25971, 26104, 26132, 26148, 26331, 26356, 26436, 26552, \\ &26555, 26603, 26808, 26868, 26915, 27083, 27155, 27428, 27579, 27604, 27732, 28088, \\ &28171, 28632, 28779, 28888, 28984, 28996, 29019, 29188, 29208, 29464, 29492, 29555, \\ &29656, 30147, 30148, 30379, 30472, 30587, 30619, 30683, 30724, 30795, 30916, 31288, \\ &31323, 31355, 31492, 31528, 31659, 31848, 31971, 31972, 32115, 32147, 32267, 32691, \\ &32747, 32824, 32979, 33160, 33379, 33448, 33496, 33652, 33747, 33995, 34059, 34456, \\ &34547, 34648, 34683, 34756, 34852, 34872, 35003, 35080, 35355, 35435, 35668, 35715, \\ &36091, 36155, 36259, 36331, 36555, 36803, 36948, 37032, 37288, 37411, 37608, 38155, \\ &38680, 38968, 39012, 39252, 39315, 39579, 39859, 39880, 40083, 40155, 40216, 40587, \\ &40632, 40907, 41092, 41251, 41320, 41379, 41419, 41668, 41723, 41755, 41892, 41955, \\ &41988, 42424, 42555, 42760, 42792, 42915, 43027, 43572, 43576, 43684, 43707, 44104, \\ &44331, 44355, 44363, 44619, 44920, 45363, 45939, 45940, 46387, 46612, 47028, 47032, \\ &47608, 47812, 47860, 48171, 48315, 48612, 48723, 48795, 48904, 48952, 49219, 49288, \\ &49323, 49480, 49819, 49828, 50403, 50788, 50851, 50884, 51108, 51123, 51355, 51448, \\ &51496, 51747, 52203, 52408, 52427, 52468, 52555, 53128, 53243, 53355, 53363, 53403, \\ &53563, 53572, 53691, 54328, 54555, 54627, 54651, 54691, 54715, 54867, 54888, 55092, \\ &55252, 55515, 55651, 55828, 55947, 55963, 56227, 56452, 56643, 86755, 57432, 57443, \\ &57499, 57747, 57763, 57880, 57940, 58168, 58315, 58360, 58483, 58708, 58827, 59259, \\ &59668, 60195, 60267, 60568, 60571, 60628, 60691, 60952, 61163, 61435, 61672, 61795, \\ &61891, 62067, 62248, 62392, 62787, 62947, 63091, 63355, 63435, 63763, 63771, 63835, \\ &63955, 64195, 64291, 64443, 64771, 64852, 65155, 65188, 65467, 65955, 66088, 66147, \\ &66280, 66331, 66628, 67363, 67771, 68515, 68563, 68692, 69235, 69448, 69643, 69715, \\ &70219, 70467, 70708, 70792, 70948, 71427, 71787, 71827, 71992, 72328, 72340, 72483, \\ &72499, 72808, 72979, 73192, 73348, 73555, 73923, 74211, 74440, 75043, 75315, 75595, \\ &75832, 76627, 76792, 76827, 77227, 77512, 77755, 78331, 78403, 78499, 78843, 78915, \\ &78955, 79203, 79243, 79891, 80227, 80539, 80907, 81067, 81859, 82443, 82603, 83155, \\ &83332, 83707, 83995, 84907, 85267, 85339, 85435, 85828, 85891, 86692, 87508, 87747, \\ &88099, 88435, 88467, 88792, 89827, 90808, 90979, 91912, 91987, 92283, 92395, 92563, \\ &92755, 93043, 93507, 94003, 94363, 94507, 94648, 94843, 95187, 95323, 95547, 95995, \\ &96835, 97123, 97339, 97563, 97747, 98155, 98212, 98587, 98611, 98995, 99163, 99763, \\ &99883, 100243, 101395, 101572, 101587, 102787, 102907, 103603, 103747, 104307, \\ &104371, 104539, 104923, 105235, 105352, 105571, 105592, 105955, 106195, 106483, \\ &107203, 107395, 108283, 108307, 108691, 108795, 109803, 110163, 110203, 110755, \\ &110779, 111067, 111259, 111379, 112315, 112435, 112443, 113803, 114283, 114307, \\ &114328, 114955, 116227, 116587, 117448, 117723, 118243, 119323, 119995, 120355, \\ &120387, 120388, 121947, 122488, 122563, 122907, 122947, 123907, 124507, 126355, \\ &126427, 127267, 127603, 129523, 130827, 131755, 131803, 132163, 132595, 132787, \\ &133347, 133627, 134563, 134968, 136915, 137272, 137323, 140323, 140347, 140515, \\ &140563, 141163, 143763, 143803, 145243, 146155, 146227, 146947, 147043, 147067, \\ &147667, 148843, 149347, 149403, 150547, 151363, 152755, 154555, 154867, 155227, \\ &156787, 157315, 159523, 160147, 161107, 161155, 162163, 163843, 163867, 165043, \\ &165355, 165547, 166555, 168883, 170683, 171187, 173083, 176443, 176947, 178003, \\ &178843, 179323, 179347, 179587, 182323, 183243, 187363, 190747, 191755, 198067, \\ &199243, 207043, 210043, 214027, 214747, 216547, 218467, 236203, 255403, 291883, \\ &319243, 319867\end{align}$

類数 $45$ (154個)

$\begin{align}&|D|=\\ &1319, 1823, 1871, 2039, 2063, 3559, 3623, 6607, 6871, 6971, 8287, 9463, 9491, 9851, \\ &10663, 10691, 10859, 12659, 13451, 13907, 14503, 15683, 15731, 16883, 18371, 21011, \\ &21491, 21683, 22067, 22699, 24379, 24443, 24611, 25163, 25447, 25667, 29387, 29863, \\ &30323, 32371, 32507, 33203, 34211, 35363, 35899, 35963, 36947, 42331, 42859, 44507, \\ &46643, 46819, 55411, 57427, 58243, 58403, 58411, 58771, 60811, 60923, 61507, 64483, \\ &64627, 65203, 67003, 67411, 68371, 68539, 68683, 69067, 73291, 73363, 73387, 73459, \\ &74323, 74419, 75403, 75707, 77659, 78643, 79867, 80107, 82531, 87739, 89227, 89443, \\ &90163, 91939, 93979, 94747, 95203, 97987, 98179, 98347, 100459, 101323, 102667, \\ &104107, 104659, 105907, 106363, 107323, 107923, 109363, 109387, 109843, 110923, \\ &112603, 114043, 114547, 115603, 117787, 119227, 120763, 124363, 130843, 131203, \\ &132763, 136963, 137587, 137827, 138427, 146563, 149563, 156307, 157243, 157747, \\ &159763, 162787, 164707, 165523, 166723, 170227, 171427, 171763, 172243, 172867, \\ &181003, 182587, 186187, 187387, 189187, 190387, 195787, 196387, 202987, 204163, \\ &207187, 209707, 218107, 234067, 263803, 271723, 308323\end{align}$

類数 $46$ (268個)

$\begin{align}&|D|=\\ &2615, 3383, 3764, 3799, 4135, 4724, 5311, 6407, 6872, 7143, 7256, 7619, 8871, 8935, \\ &10379, 10423, 10456, 10811, 11335, 11348, 12248, 12847, 13087, 13811, 13928, 13951, \\ &14171, 14743, 14811, 15247, 15256, 15464, 16503, 17915, 18227, 18339, 18347, 18664, \\ &18727, 19115, 19331, 19567, 19783, 20404, 20948, 21583, 21848, 22331, 22744, 23284, \\ &23379, 23476, 24343, 24872, 24916, 25108, 25891, 26179, 26644, 26659, 26971, 27371, \\ &27736, 27771, 28715, 28948, 29099, 29843, 30499, 30823, 30868, 31011, 31099, 31336, \\ &31435, 31587, 32459, 32731, 32899, 33064, 33112, 33172, 34219, 34907, 35284, 35572, \\ &35608, 35843, 36235, 36724, 37283, 37528, 38267, 38859, 38963, 39283, 39892, 41176, \\ &42088, 42259, 42472, 42747, 43048, 43667, 44611, 46491, 47315, 47723, 47731, 48019, \\ &48579, 49587, 49771, 49883, 50068, 50299, 51739, 52651, 53187, 53763, 54235, 54803, \\ &55123, 55747, 56596, 57019, 57363, 58051, 58228, 58792, 59091, 59523, 59635, 59851, \\ &60531, 61107, 61528, 61531, 62251, 62443, 62635, 65035, 66019, 66203, 68308, 68323, \\ &69307, 69523, 69603, 70339, 70435, 71371, 72115, 72619, 73267, 73603, 73915, 74371, \\ &75028, 75283, 75352, 76915, 77179, 77667, 79528, 79683, 80059, 80187, 80728, 81112, \\ &82648, 83035, 85108, 85219, 85227, 85987, 86347, 87163, 88915, 90427, 91219, 91891, \\ &92632, 92968, 93592, 94027, 95491, 96283, 98008, 98403, 99331, 100171, 100312, \\ &101971, 102283, 102568, 104227, 104883, 105187, 109003, 109603, 109723, 113443, \\ &114523, 114739, 115315, 117835, 120499, 121747, 124051, 124963, 127147, 130387, \\ &130915, 132067, 133123, 136627, 137923, 141043, 142627, 143515, 150187, 151867, \\ &154507, 154627, 155323, 155563, 155683, 157147, 157723, 157987, 160323, 162667, \\ &165187, 167083, 167203, 167707, 168235, 168547, 173587, 174507, 176803, 180643, \\ &181987, 186547, 187147, 189352, 193867, 196483, 198907, 205027, 205723, 218443, \\ &222763, 224827, 226363, 226627, 228187, 231883, 232747, 240307, 241915, 242587, \\ &270187, 274747, 291523, 308947, 462883\end{align}$

類数 $47$ (107個)

$\begin{align}&|D|=\\ &3023, 7247, 7927, 8291, 11579, 11887, 12251, 12823, 13259, 13691, 15083, 15583, \\ &16763, 16811, 19207, 21247, 22283, 23291, 23603, 23971, 24007, 25303, 25307, 25763, \\ &25819, 26003, 27691, 31091, 31907, 32603, 33083, 33923, 35099, 38299, 39323, 49043, \\ &49339, 50683, 52291, 55763, 59539, 59971, 60859, 61051, 67307, 69163, 72547, 76651, \\ &80923, 82003, 82051, 84859, 85027, 86083, 86179, 90379, 93523, 93763, 94603, 94651, \\ &96643, 97771, 98947, 100483, 108883, 109507, 110083, 110251, 111427, 113683, \\ &116131, 119107, 119923, 120163, 121267, 121843, 121963, 123787, 125899, 127507, \\ &132403, 137659, 138163, 139267, 141307, 147283, 152947, 154267, 161923, 166867, \\ &171403, 179083, 191227, 192307, 194203, 207307, 212227, 214603, 227467, 237283, \\ &237547, 269683, 270307, 278947, 287347, 310627, 375523\end{align}$

類数 $48$ (1365個)

類数 $49$ (132個)

$\begin{align}&|D|=\\ &1511, 2111, 4127, 4591, 7759, 7879, 8819, 9371, 9871, 11699, 13903, 16063, 17027, \\ &17791, 20287, 21179, 21227, 23747, 24083, 24107, 27127, 30539, 31891, 32987, 36587, \\ &37139, 37579, 38723, 40771, 41627, 41843, 46171, 46411, 46523, 47963, 49171, 53267, \\ &54443, 55819, 56611, 56731, 60763, 62347, 62539, 63347, 63499, 69403, 72043, 72091, \\ &72923, 74707, 76819, 77563, 79987, 81667, 84523, 85627, 88771, 90523, 91771, 92779, \\ &93187, 94723, 95443, 98563, 99859, 103651, 107827, 111091, 111667, 113467, 113899, \\ &115123, 117331, 118843, 121531, 126067, 127051, 127363, 128203, 128683, 129643, \\ &130003, 130147, 130531, 131371, 131947, 133843, 136027, 138547, 139627, 140683, \\ &145723, 147547, 148243, 148387, 150427, 150523, 150907, 151027, 154387, 157483, \\ &157627, 163243, 163363, 163483, 164443, 165883, 169003, 178627, 179107, 180667, \\ &184003, 187003, 190507, 204667, 205507, 207643, 209203, 210403, 212587, 214363, \\ &220243, 229027, 234187, 237763, 246187, 282907, 302443, 319027, 331027, 393187\end{align}$

類数 $50$ (345個)

$\begin{align}&|D|=\\ &1799, 3215, 4399, 4436, 4911, 5071, 5204, 5815, 5847, 6031, 6056, 6207, 6415, 7064, \\ &7519, 7615, 8079, 8168, 8335, 8479, 8531, 8551, 8583, 8727, 9299, 10328, 10783, 11215, \\ &12059, 12079, 12179, 12419, 13303, 13352, 13556, 13835, 14263, 14291, 14324, 15007, \\ &15127, 15611, 15703, 15784, 16499, 16663, 17267, 17819, 17944, 18203, 18856, 19547, \\ &19615, 19735, 19787, 19816, 21544, 22327, 22371, 22663, 22808, 22996, 23451, 23867, \\ &23915, 23983, 24212, 24511, 24515, 24587, 25448, 25539, 25588, 25859, 26043, 26167, \\ &26363, 26383, 26408, 26503, 27304, 27659, 27668, 28131, 28235, 28568, 29236, 29571, \\ &29987, 31028, 31835, 32167, 32723, 33531, 33571, 34531, 34899, 35299, 35459, 35691, \\ &36483, 37172, 37419, 37491, 37707, 37771, 39115, 39124, 39467, 39796, 39939, 39947, \\ &40331, 40659, 40835, 41523, 41867, 41908, 42459, 43611, 43683, 43816, 43819, 44035, \\ &44299, 45347, 45635, 45683, 45947, 46203, 46339, 46936, 47867, 49012, 49048, 49163, \\ &50035, 50515, 51619, 53011, 53747, 53908, 54019, 54203, 54211, 54619, 54952, 55427, \\ &55435, 55907, 56387, 57172, 57219, 57748, 60387, 60603, 61108, 61763, 61972, 62632, \\ &63451, 63508, 64203, 64459, 65368, 65812, 66292, 66328, 67432, 68027, 68387, 69211, \\ &69811, 71587, 71683, 71723, 72083, 72339, 72472, 73099, 73768, 74427, 74548, 75091, \\ &75219, 75507, 75688, 75892, 77851, 78019, 78388, 78619, 79787, 80547, 81115, 81523, \\ &82072, 82435, 84115, 84379, 84763, 85051, 85099, 86248, 86299, 86731, 87307, 88291, \\ &89467, 90088, 90283, 90483, 90868, 91347, 91507, 92299, 92611, 95827, 97323, 97827, \\ &97915, 98083, 98803, 100339, 100603, 100915, 101011, 101083, 101227, 101683, \\ &103083,103947, 105643, 106891, 106915, 109243, 110107, 110347, 110632, 111235, \\ &111403, 115027, 115252, 116187, 117907, 118315, 118563, 121147, 122035, 122083, \\ &122635, 123643, 124027, 124603, 125323, 125467, 125547, 126267, 126627, 126715, \\ &128067, 128692, 129147, 129235, 129547, 132603, 133243, 133267, 133291, 133435, \\ &134187, 134347, 135667, 137107, 137635, 138147, 138715, 139147, 140803, 143587, \\ &144043, 146035, 148507, 150235, 151627, 152683, 153547, 153987, 154408, 155787, \\ &156115, 157507, 159187, 160027, 161803, 162067, 164563, 167227, 170083, 170587, \\ &172963, 173203,173947, 174787, 174868, 177027, 179467, 182947, 183835, 186643, \\ &192403, 195115, 195187, 195307, 198115, 198307, 199147, 199987, 201147, 201427, \\ &208723, 210163, 212323, 213763, 213907, 215707, 216283, 216483, 223867, 241987, \\ &246283, 267787, 268867, 277435, 294715, 295003, 301603, 305467, 323227, 328603, \\ &338083, 340363, 366403, 377227, 389467\end{align}$

2017-05-16

合成数を小さい順に足して出来るような冪乗数

整数整数-779693 整数-4 整数-27 整数-49 整数-400 整数-4624 整数-10077696

オンライン整数列大辞典A227249とA053768とA053769を紹介します。

数列 $a(n)$ (A227249)は

「最初の $m$ 個の合成数の総和が冪乗数となる正整数 $m$ のうち $n$ 番目のもの」

と定義されます。

$\begin{align}a(1)&= 1\\ a(2) &= 4\\ a(3) &= 6\\ a(4) &= 21\\ a(5) &= 80\\ a(6) &= 4151\\ a(7) &= 6982\\ a(8) &= 269563\\ a(9) &= 779693\\ a(10) &= 834365\\ a(11) &= 16176645\\ a(12) &= 19770092\\ a(13) &= 41049539\\ a(14) &= 228612936\\ a(15) &= 1950787140\\ a(16) &= 2404785364\\ a(17) &= 3095996836\\ a(18) &= 5236785750\end{align}$

$\ 4=2^2$

$\ 4+6+8+9=27=3^3$

$\ 4+6+8+9+10+12=49=7^2$

$\begin{align}&4+6+8+9+10+12+14+15+16+18+20+21+22+24+25+26\\ &+27+28+30+32+33= 400=20^2\end{align}$

$\begin{align}&4+6+8+9+10+12+14+15+16+18+20+21+22+24+25+26\\ &+27+28+30+32+33+34+35+36+38+39+40+42+44+45+46\\ &+48+49+50+51+52+54+55+56+57+58+60+62+63+64+65\\ &+66+68+69+70+72+74+75+76+77+78+80+81+82+84+85\\ &+86+87+88+90+91+92+93+94+95+96+98+99+100+102\\ &+104+105+106+108+110=4624=68^2\end{align}$

のようになっています。

数列 $b(n)$ (A053768)は

「最初の $m$ 個の合成数の総和が平方数となる正整数 $m$ のうち $n$ 番目のもの」

と定義されます。

$\begin{align}b(1)&= 1\\ b(2) &= 6\\ b(3) &= 21\\ b(4) &= 80\\ b(5) &= 6982\\ b(6) &= 269563\\ b(7) &= 779693\\ b(8) &= 834365\\ b(9) &= 16176645\\ b(10) &= 19770092\\ b(11) &= 41049539\\ b(12) &= 228612936\\ b(13) &= 1950787140\\ b(14) &= 2404785364\\ b(15) &= 3095996836\\ b(16) &= 5236785750\\ b(17) &= 12482382942\end{align}$

$b(n)$ の定義において生じる平方数を $c(n)$ (A053769)とすると

$\begin{align}c(1)&= 4=2^2\\ c(2)&=49=7^2\\ c(3)&=400=20^2\\ c(4)&=4624=68^2\\ c(5)&=28185481=5309^2\\ c(6)&=39969605776=199924^2\\ c(7)&=331478850564=575742^2\\ c(8)&=379404257764=615958^2\\ c(9)&=140137415341225=11837965^2\\ c(10)&=209117137139689=14460883^2\\ c(11)&=898672389958225=29977865^2\\ c(12)&=27694219155303204=166415802^2\\ c(13)&=2003605052331579489=1415487567^2\\ c(14)&=3043021713613106404=1744425898^2\\ c(15)&=5040463493957084964=2245097658^2\\ c(16)&=14402336510464445764=3795041042^2\\ c(17)&=81662818789290090564=9036748242^2\end{align}$

Question１ 数列 $a(n)$ は無限列か？有限列か？

Question２ 数列 $a(n)$ の定義において生じる合成数の総和の冪乗数が平方数ではないようなものが $a(2)$ に対する $3^3$ 及び $a(6)$ に対する $6^9$ 以外にあるか？

Question３ 数列 $a(n)$ が素数になるのは $a(9)= 779693$ 以外にあるか？

2017-05-11

オイラーの定理：1000009は素数ではない

整数整数-1000009 整数-293 整数-3413

オイラーの論文

L. Euler, Utrum hic numerus $1000009$ sit primus necne inquiritur, Nova acta academiae scientiarum Petropolitanae 10 (1797), 63–73.

で証明されている次の定理の証明を解説します：

定理 (オイラー) $1000009$ は素数ではない。

オイラーによる証明*1. 一見して

$1000009=1000^2+3^2$

がわかるが、 $1000009$ が二平方和として他の表示を持たないかどうかを探索しよう。

つまり、整数 $x$ に対して $1000009-xx$ が $x=3, 1000$ を除いて平方数になるかどうかを調べる*2。

オイラーは使っていないが、よくやるように「平方数であること」を「 $=\Box$ 」と表現することにする。

$1000009-xx=\Box$

と仮定しよう。平方数の一の位は $0, 1, 4, 5, 6, 9$ しかあり得ないので、上の式を $10$ で割った余りで考えると

$\begin{align} &9-0 \equiv 9, \quad 9-9\equiv 0 \pmod{10} \\ &9-4\equiv 5, \quad 9-5\equiv 4 \pmod{10}\end{align}$

という状況しかあり得ない。

対称性から $1000009-xx$ は $5$ の倍数、従って、平方数なので、 $25$ の倍数であると仮定してよい。

$xx \equiv 9 \pmod{25}$

なので、こうなるのは

$x \equiv \pm 3 \pmod{25}$

のときしかあり得ない。 $xx$ の値のみが問題になってくるので、 $x$ が負の場合も考えることにすれば、 $x=25a+3$ と書けるとしてよい( $a$ は整数)。

代入することによって

$1000000-6\cdot 25a-25^2aa=\Box$

であり、 $25$ で割ることによって

$40000-6a-25aa=\Box$

となる。 $a$ が偶数か奇数で場合分けしよう。

$a$ が偶数の場合は $a=2b$ と書いて、これを代入してから $4$ で割ることにより

$A=10000-3b-25bb=\Box$

となる。

$a$ が奇数の場合は更に $4$ で割った余りで場合分けする。

$a$ を $4$ で割った余りが $1$ の場合は $a=4c+1$ と書いて、代入すれば

$B=39969-224c-400cc=\Box$

となり、 $a$ を $4$ で割った余りが $3$ の場合は $a=4d-1$ と書いて、代入すれば

$C=39981+176d-400dd=\Box$

となる。

$C$ を $8$ で割った余りは $5$ であるが、平方数を $8$ で割った余りは $0, 1, 4$ にしかなり得ないので、 $C=\Box$ のケースは起こり得ない。

$A, B$ について調べる必要があるが、まずは $A$ について調べる。 $b$ が偶数か奇数で場合分けしよう。

$b$ が偶数のとき。 $b$ が単偶数*3の場合は $A$ が偶数なのに $4$ で割れないので平方数になり得ない。

よって、 $b=4c$ と書く。このとき、

$\displaystyle \frac{A}{4}=2500-3c-100cc=\Box$

であるが、これが $0$ 以上の値となるのは $\left|c\right| \leq 5$ の場合に限る。

$c=0$ のときは $b=0$ 、すなわち $a=0$ なので、 $x=3$ となって $1000009=1000^2+3^2$ の場合となるので除外ケース。

$c=\pm1$ のときは

$\displaystyle \frac{A}{4}=2397, \ 2603$

であり、これは(少なくともオイラーにとっては)見るからに平方数でない。

$c=\pm 2$ のときは $A/4$ が偶数なのに $4$ で割れないので平方数ではない。

$c=\pm 3$ のとき

$\displaystyle \frac{A}{4}=2500-900\pm 9 = 1600\pm 9$

は平方数ではない。

$c=\pm 4$ のとき

$\displaystyle \frac{A}{4}=2500-1600\pm 12 = 900\pm 12$

は平方数ではない。

$c=\pm 5$ のとき

$\displaystyle \frac{A}{4}=2500-2500\pm 15 = 0\pm 15$

は平方数ではない。

$b$ が奇数の場合。更に $4$ で割った余りで場合分けする。

$4$ で割った余りが $1$ の場合は $b=4d+1$ と書いて

$\displaystyle \frac{A}{4}=9972-212d-400dd=\Box$

なので、 $4$ で割って

$\displaystyle \frac{A}{16}=2493-53d-100dd=\Box$

を得る。これが $0$ 以上になるのは $\left|d\right| \leq 5$ かつ $d \neq 5$ の場合のみである。

$d=0$ のときは(オイ(ry)見るからに平方数ではない。

$d=\pm 1$ のとき $A/16=2393\pm 53$ は平方数ではない。

$d=\pm 2$ のとき $A/16=2093\pm 106$ は平方数ではない。

$d=\pm 3$ のとき $A/16=1593\pm 159$ は平方数ではない。

$d=\pm 4$ のとき $A/16=893\pm 212$ は平方数ではない。

$d=-5$ のとき $A/16=-7+265$ は平方数ではない。

$4$ で割った余りが $3$ の場合は $b=4d-1$ と書いて

$\displaystyle \frac{A}{4}=9978+188d-400dd$

となるが、これは偶数なのに $4$ で割れないから平方数になり得ない。以上によって、 $A$ は( $x\neq 3$ とすると)平方数になり得ないことが示された。

あとは $B$ について調査すればよい。ここでは、 $c \geq 0$ として

$B=39969\pm 224c-400cc$

を $c=0, 1, 2, 3, 4, \dots$ と順番に計算していく。

さて、 $c=0, 1, 2, 3, 4$ とすると、 $400cc-224c$ は

$0, 176, 1152, 2928, 5504$

であり、差は

$176, 976, 1776, 2576$

と推移している。 $400cc+224c$ は

$0, 624, 2048, 4272, 7296$

であり、差は

$624, 1424, 2224, 3024$

と推移している。

どちらも差は $800$ ずつ増加していることがわかる*4。このことに注意すれば、簡単に $B$ を順次計算できる*5。

f:id:integers:20170510235141p:plain:w400

探索しているのは引き算の結果が平方数になる場合であるが、これを眺めるとただ一つだけ平方数があることがわかる：

$2209=47^2.$

これは(もとの $c$ の定義に戻ると) $c=-10$ の場合なので、 $a=-39$ であり、 $x=25a+3=-972$ である。

$1000009-xx=55225=235^2$

なので、 $1000009$ は

$1000009=1000^2+3^2=972^2+235^2$

と二通りの二平方和としての表示があることが判明した。オイラーは次を示している：

二平方和の定理*6 $p$ が $4$ で割った余りが $1$ であるような素数であれば、 $p$ は順序を除いて丁度一通りに二平方和として表すことができる。

よって、 $1000009$ は素数ではない。 Q.E.D.

素数でないことが判明したので素因数分解をしたくなります。オイラーは昔の論文で次の議論を行っていたことを思い出しましょう：

文字は全て整数で、 $N=a^2+b^2=c^2+d^2$ のとき、

$a^2-c^2=d^2-b^2$

なので

$(a-c)(a+c)=(d-b)(d+b)$

となる。ここで、 $k$ を $a-c$ と $d-b$ の最大公約数とすると、互いに素な整数 $l, m$ が存在して

$a-c=kl, \quad d-b=km$

と書ける。このとき、

$l(a+c)=m(d+b)$

なので、或る整数 $n$ が存在して

$a+c=mn, \quad d+b=ln$

と書けることがわかる。このとき、

$(k^2+n^2)(m^2+l^2)=2(a^2+b^2+c^2+d^2) = 4N$

が成り立つ。

定理 (オイラー) $1000009$ の素因数分解は $1000009=293\times 3413$ である。

オイラーによる証明. 前定理の証明において

$1000009=1000^2+3^2=972^2+235^2$

を示した。よって

$1000^2-235^2=972^2-3^2$

$(1000-235)(1000+235)=(972-3)(972+3)$

$765\cdot 1235 = 969\cdot 975$

を得る。ここで、

$\displaystyle \frac{1235}{975}=\frac{969}{765}=\frac{19}{15}$

と約分できるので、 $1000009$ は $19^2+15^2$ と共通因子を持ち、それは $293$ である。そうして、 $1000009$ は

$1000009=293\cdot 3413$

と分解される。 Q.E.D.

先の計算において $a=1000, b=3, c=972, d=235$ であり、 $k=51, n=65, l=15, m=19$ となっているので、

$\displaystyle 1000009=\frac{51^2+65^2}{2}\cdot \frac{19^2+15^2}{2} = 3413\cdot 293$

が得られるという寸法です。二平方和に沿った気障な方法もなくはないですが、 $293$ や $3413$ は小さいので素数であることは既知としてよいでしょう。

ちなみに、 $293$ と言えばボウリングのスコアとして得られる最大の素数ですが、ファン・デル・ヴェルデン数でもあります。

$3413$ と言えば

$3413=1^1+2^2+3^3+4^4+5^5$

ですね。

なお、 $1000009$ は素数大富豪では出せません*7。

*1:オイラーは $1000009$ が素数であると思ってこの計算を行っていたら実は合成数だったということらしい(当時の素数表にこの数が入っていた)。なので、単に合成数であることを示すだけならもっと省略できる( $A$ や $C$ の考察はいらない)が、オイラーが論文に書いた計算を全て見ることにする。オイラーは $1000009$ の後に $1000081$ に移ってこちらは素数であることを証明している。これについてはまたの機会にまとめたい。

*2:昔は $x^2$ のことを $xx$ と書いていた。

*3: $4$ で割った余りが $2$ であるような偶数。

*4:実験的に見えるが証明は簡単。

*5: $B$ は $0$ 以上なので有限回の計算で停止する。

*6:二平方和の定理については次の記事を参照してください。 integers.hatenablog.com

*7:エデンの園素数 integers.hatenablog.com

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

虚二次体の類数表(その二)

類数 $26$ (190個)

類数 $27$ (93個)

類数 $28$ (457個)

類数 $29$ (83個)

類数 $30$ (255個)

類数 $31$ (73個)

類数 $32$ (708個)

類数 $33$ (101個)

類数 $34$ (219個)

類数 $35$ (103個)

類数 $36$ (668個)

類数 $37$ (85個)

類数 $38$ (237個)

類数 $39$ (115個)

類数 $40$ (912個)

類数 $41$ (109個)

類数 $42$ (339個)

類数 $43$ (106個)

類数 $44$ (691個)

類数 $45$ (154個)

類数 $46$ (268個)

類数 $47$ (107個)

類数 $48$ (1365個)

類数 $49$ (132個)

類数 $50$ (345個)

合成数を小さい順に足して出来るような冪乗数

オイラーの定理：1000009は素数ではない

類数 (190個)

類数 (93個)

類数 (457個)

類数 (83個)

類数 (255個)

類数 (73個)

類数 (708個)

類数 (101個)

類数 (219個)

類数 (103個)

類数 (668個)

類数 (85個)

類数 (237個)

類数 (115個)

類数 (912個)

類数 (109個)

類数 (339個)

類数 (106個)

類数 (691個)

類数 (154個)

類数 (268個)

類数 (107個)

類数 (1365個)

類数 (132個)

類数 (345個)

類数 $26$ (190個)

類数 $27$ (93個)

類数 $28$ (457個)

類数 $29$ (83個)

類数 $30$ (255個)

類数 $31$ (73個)

類数 $32$ (708個)

類数 $33$ (101個)

類数 $34$ (219個)

類数 $35$ (103個)

類数 $36$ (668個)

類数 $37$ (85個)

類数 $38$ (237個)

類数 $39$ (115個)

類数 $40$ (912個)

類数 $41$ (109個)

類数 $42$ (339個)

類数 $43$ (106個)

類数 $44$ (691個)

類数 $45$ (154個)

類数 $46$ (268個)

類数 $47$ (107個)

類数 $48$ (1365個)

類数 $49$ (132個)

類数 $50$ (345個)