2018-01-04

2^77232917-1：最大の素数更新、発見された完全数の数が50に！

整数整数-2^77232917−1

2018年1月3日付で人類が発見した最大の素数の記録が更新されたことが発表されました。GIMPSによって2017年12月26日に発見されたその素数( $23249425$ 桁)は

$M_{77232917}=2^{77232917}-1$

でMersenne素数です。これで知られているMersenne素数の個数は $50$ 個となり、偶数の完全数も

$2^{77232916}(2^{77232917}-1)$

で $50$ 個を数えることとなりました。

前回の更新時の記事

integers.hatenablog.com

integers.hatenablog.com
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2018-01-03

マイク・キースの小数

整数整数-40 整数-41 整数-43 整数-47 整数-53 整数-61 整数-71 整数-83 整数-97 整数-113 整数-131 整数-151 整数-173 整数-197 整数-223 整数-251 整数-281 整数-313 整数-347 整数-383 整数-421 整数-461 整数-503 整数-547 整数-593 整数-641 整数-691 整数-743 整数-797 整数-853 整数-911 整数-971 整数-1033 整数-1097 整数-1163 整数-1231 整数-1301 整数-1373 整数-1447 整数-1523 整数-1601

$\frac{40999920000041}{999999^3}$ を小数展開すると*1、 $0$ を挟みながら $40$ 個の素数が並びます。

$\begin{align} &\quad \frac{40999920000041}{999999^3}\\ &= 0.0000\color{red}{41}0000\color{red}{43}0000\color{red}{47}0000\color{red}{53}0000\color{red}{61}0000\color{red}{71}0000\color{red}{83}0000\color{red}{97}000\color{red}{113}\\ &\quad 000\color{red}{131}000\color{red}{151}000\color{red}{173}000\color{red}{197}000\color{red}{223}000\color{red}{251}000\color{red}{281}000\color{red}{313}000\color{red}{347}00\\ &\quad 0\color{red}{383}000\color{red}{421}000\color{red}{461}000\color{red}{503}000\color{red}{547}000\color{red}{593}000\color{red}{641}000\color{red}{691}000\color{red}{743}000\color{red}{7}\\ &\quad \color{red}{97}000\color{red}{853}000\color{red}{911}000\color{red}{971}00\color{red}{1033}00\color{red}{1097}00\color{red}{1163}00\color{red}{1231}00\color{red}{1301}00\color{red}{1373}\\ &\quad 00\color{red}{1447}00\color{red}{1523}00\color{red}{1601}00\color{blue}{1681}00\color{blue}{1763}00\color{red}{1847}00\color{red}{1933}00\color{blue}{2021}00\color{red}{2111}00\\ &\quad \color{red}{2203}00\color{red}{2297}00\color{red}{2393}00\color{blue}{2491}00\color{red}{2591}00\color{red}{2693}00\color{red}{2797}00\color{red}{2903}00\color{red}{3011}00\color{red}{31} \\ &\quad \color{red}{21}00\color{blue}{3233}00\color{red}{3347}00\color{red}{3463}00\color{red}{3581}00\color{red}{3701}00\color{red}{3823}00\color{red}{3947}00\color{red}{4073}00\color{red}{4201}\\ &\quad 00\color{blue}{4331}00\color{red}{4463}00\color{red}{4597}00\color{red}{4733}00\color{red}{4871}00\color{red}{5011}00\color{red}{5153}00\color{red}{5297}00\color{red}{5443}00\\ &\quad \color{red}{5591}00\color{red}{5741}00\color{blue}{5893}00\color{red}{6047}00\color{red}{6203}00\color{red}{6361}00\color{red}{6521}00\color{blue}{6683}00\color{blue}{6847}00\color{red}{70} \\ &\quad \color{red}{13}00\color{blue}{7181}00\color{red}{7351}00\color{red}{7523}00\color{blue}{7697}00\color{red}{7873}00\color{blue}{8051}00\color{red}{8231}00\color{blue}{8413}00\color{red}{8597}\\ &\quad 00\color{red}{8783}00\color{red}{8971}00\color{red}{9161}00\color{blue}{9353}00\color{red}{9547}00\color{red}{9743}00\color{red}{9941}0\color{red}{10141}0\color{red}{10343}0\color{blue}{1}\\ &\quad \color{blue}{0547}0\color{red}{10753}0\color{blue}{10961}0\color{red}{11171}0\color{red}{11383}0\color{red}{11597}0\color{red}{11813}0\color{blue}{12031}0\color{red}{12251}0\dots\end{align}$

赤は素数で青は合成数です。ネタばらしをすると

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}10^{-6(n+1)}(n^2+n+41) = \frac{40999920000041}{999999^3}$

ということです。

*1: $40999920000041=29^2\times 48751391201$

2018-01-02

メルテンス関数

定理解説整数整数-94

Mertens関数 $M(x)$ は

$\displaystyle M(x) := \sum_{n \leq x} \mu(n)$

で定義されます。ここで、 $\mu(n)$ はMöbius関数です: メビウス関数 - INTEGERS

数値例

$\begin{align} M(31) &= \mu(1)+ \mu(2)+\mu(3)+\mu(5)+\mu(6)+\mu(7)+\mu(10)+\mu(11)+\mu(13)+\mu(14)+\mu(15)\\ &\quad +\mu(17)+\mu(19)+\mu(20)+\mu(21)+\mu(23)+\mu(26)+\mu(29)+\mu(30)+\mu(31)\\ &= 1-1-1-1+1-1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1+1-1-1-1 \\ &= -4\end{align}$

$M(1)=1$ の次にMertens関数の値が $1$ をとるのは $M(94) = 1$ です。

$M(2018)=1, \ M(10^8)=1928$ など。

Riemann予想

Riemann予想は任意の $\varepsilon > 0$ に対して

$\displaystyle M(x) = O(x^{\frac{1}{2}+\varepsilon}), \quad x \to \infty$

が成り立つことと同値です。Mertens関数に関するこの評価からRiemann予想が導出されることは次のように証明されます*1:

$s=\sigma+it \in \mathbb{C}$ , $\sigma > 1/2$ とする。トーシェント関数に関する漸近評価 - INTEGERSの補題１およびAbelの総和法 *2より

$\displaystyle \frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n^s} = s\int_1^{\infty}t^{-s-1}M(t)dt$

が成り立つ。 $M=O(x^{\frac{1}{2}+\varepsilon})$ と仮定すると、積分は

$\displaystyle \left|\int_1^{\infty}t^{-s-1}M(t)dt\right| \ll \int_1^{\infty}t^{-\frac{1}{2}+\varepsilon -\sigma}dt$

と評価できるので、 $\sigma > \frac{1}{2}+\varepsilon$ で広義一様絶対収束する。よって、 $\varepsilon > 0$ は任意であるから、 $1/\zeta(s)$ は $\sigma > 1/2$ で正則となり、(関数等式により)これはRiemann予想の成立を意味する。 Q.E.D.