2018-06-08

ラマヌジャンの 6-10-8 恒等式

整数整数-6 整数-10 整数-8 Ramanujan

$ad=bc$ であるとき、

$\begin{align}&64\{(a+b+c)^6+(b+c+d)^6-(c+d+a)^6-(d+a+b)^6+(a-d)^6-(b-c)^6\}\\ &\\ &\ \times \{(a+b+c)^{10}+(b+c+d)^{10}-(c+d+a)^{10}-(d+a+b)^{10}+(a-d)^{10}-(b-c)^{10}\} \\ &\\ &=45\{(a+b+c)^8+(b+c+d)^8-(c+d+a)^8-(d+a+b)^8+(a-d)^8-(b-c)^8\}\end{align}$

が成り立つ。

2018-06-07

フィールズ賞受賞者一覧

その他

受賞年	受賞者	著名な論文*1
1936*2	Lars Valerian Ahlfors
1936	Jesse Douglas
1950*3	Laurent Schwartz
1950	Atle Selberg	・A. Selberg, An elementary proof of the prime–number theorem, Ann. of Math. (2) 50 (1949), 305–313.*4
1954*5	小平邦彦
1954	Jean-Pierre Serre
1958*6	Klaus Friedrich Roth	・K. F. Roth, On certain sets of integers, J. London Math. Soc. 28, (1953), 245−252.7 ・K. F. Roth, Rational approximations to algebraic numbers*, Mathematika, 2, (1955), 1-20.
1958	René Thom
1962*8	Lars Hörmander
1962	John Willard Milnor	・J. W. Milnor, On manifolds homeomorphic to the 7-sphere, Ann. of Math., 64, (1956), 399–405.
1966*9	Michael Francis Atiyah
1966	Paul Joseph Cohen	・P. J. Cohen, The independence of the continuum hypothesis, Proc. of the Natl. Acad. of Sci. of USA, 50 (6), (1963)1143–1148. ・P. J. Cohen, The independence of the continuum hypothesis, II, Proc. of the Natl. Acad. of Sci. of USA, 51 (1), (1964), 105–110.
1966	Alexander Grothendieck
1966	Stephen Smale
1970*10	Alan Baker
1970	広中平祐	・H. Hironaka, Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero: I, Ann. of Math., 79, (1964), 109–203. ・H. Hironaka, Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero: II, Ann. of Math., 79, (1964), 205–326.
1970	Sergei Novikov
1970	John Griggs Thompson
1974*11	Enrico Bombieri
1974	David Bryant Mumford
1978*12	Pierre René Deligne	・P. Deligne, La conjecture de Weil. I, Publ. Math. de l'IHÉS, (43), (1974), 273–307. ・P. Deligne, La conjecture de Weil. II, Publ. Math. de l'IHÉS, (52), (1980), 137–252.
1978	Charles Louis Fefferman
1978	Gregori Aleksandrovich Margulis
1978	Daniel G. Quillen
1982*13	Alain Connes
1982	William P. Thurston
1982	Shing-Tung Yau
1986*14	Simon K. Donaldson
1986	Gerd Faltings	・G. Faltings, Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlwörtern”.Invent. Math., 73 (3), (1983), 349–366.
1986	Michael H. Freedman
1990*15	Vladimir Drinfeld
1990	Vaughan F. R. Jones
1990	森重文	・S. Mori, Projective manifolds with ample tangent bundles, Ann. of Math., 110 (3), (1979), 593–606.
1990	Edward Witten
1994*16	Jean Bourgain
1994	Pierre-Louis Lions
1994	Jean-Christophe Yoccoz
1994	Efim Zelmanov
1998*17	Richard E. Borcherds
1998	William Timothy Gowers
1998	Maxim Kontsevich	・M. Kontsevich, Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function, Comm. in Math. Phys., 147 (1), (1992), 1–23.
1998	Curtis T. Mcmullen
1998	Andrew J. Wiles	・A. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem, Ann. of Math. 141 (3), (1995), 443-551. ・R. Taylor, A. Wiles, Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras, Ann. of Math. 141 (3), (1995), 553-572.
2002*18	Laurent Lafforgue
2002	Vladimir Voevodsky
2006*19	Terence Tao	・B. Green, T. Tao, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Ann. of Math., 167 (2), (2008), 481–547.*20
2006	Grigori Perelman	・G. Perelman, Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll, J. of Diff. Geom., 40 (1), (1994), 209–212. ・G. Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, arXiv:math/0211159. ・G. Perelman, Ricci flow with surgery on three-manifolds, arXiv:math/0303109. ・G. Perelman, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, arXiv:math/0307245.
2006	Andrei Okounkov
2006	Wendelin Werner
2010*21	Elon Lindenstrauss
2010	Stanislav Smirnov
2010	Ngô Bảo Châu
2010	Cédric Villani
2014*22	Maryam Mirzakhani
2014	Artur Avila
2014	Manjul Bhargava
2014	Martin Hairer
2018*23	Caucher Birkar
2018	Alessio Figalli
2018	Peter Scholze
2018	Akshay Venkatesh

*1:フィールズ賞受賞理由の業績に関連するもので当ブログ管理人が調べたものをピックアップ。実際にはフィールズ賞は人に対して与えられ、受賞理由も特定の論文があげられるわけではないし、複数の業績をあげられるケースも多い。随時情報更新予定。

*2:オスロ(ノルウェー)

*3:ケンブリッジ(イングランド)

*4:解説: 素数定理の初等的証明（予告編） - INTEGERS

*5:アムステルダム(オランダ)

*6:エディンバラ(スコットランド)

*7:解説: ロスによるエルデシュ・トゥーラン予想の解決 - INTEGERS

*8:ストックホルム(スウェーデン)

*9:モスクワ(ロシア)

*10:ニース(フランス)

*11:バンクーバー(カナダ)

*12:ヘルシンキ(フィンランド)

*13:ワルシャワ(ポーランド)

*14:バークレー(アメリカ)

*15:京都(日本)

*16:チューリッヒ(スイス)

*17:ベルリン(ドイツ)

*18:北京(中国)

*19:マドリード(スペイン)

*20:解説: グリーン・タオ論文の§1, 4を読む - INTEGERS

*21:ハイデラバード(インド)

*22:ソウル(韓国)

*23:リオ・デ・ジャネイロ(ブラジル)

2018-06-03

Posetに対するメビウスの反転公式

定理解説

$(P, \leq)$ をposetとする(反射律・推移律・反対称律を満たす)。 $P$ が局所有限であるとは、任意の $x\leq y$ に対して $\{z\in P\mid x\leq z\leq y\}$ が有限集合であるときにいう。

局所有限なposet $P$ に対して、Möbius関数 $\mu(\cdot, \cdot)$ を

$\displaystyle \sum_{x\leq z \leq y}\mu(x,z)=\delta_{xy}$

が成り立つように定義する( $x\leq y$ に対してのみ $\mu(x, y)$ を定義する。 $\delta_{xy}$ はKroneckerのデルタ。well-defined)。

定理 (Möbiusの反転公式) $P$ を局所有限なposetとし、 $f, g$ を関数 $P\to\mathbb{C}$ とする。このとき、 $P_y:=\{x\in P \mid x\leq y\}$ が有限集合であるような $y \in P$ に対して

$\displaystyle g(y)=\sum_{x \leq y}f(x)$

が成り立つことと

$\displaystyle f(y)=\sum_{x \leq y}\mu(x,y)g(x)$

が成り立つことは同値である。

証明. $P_y$ が有限集合であるような $y \in P$ をとって固定する。 $P_y=\{x_1,\dots, x_n\}$ とする( $n=\#P_y$ )。横ベクトル $v, w$ , $(n\times n)$ -行列 $A, B$ を

$\displaystyle v:=(f(x_i) )_{1\leq i \leq n},\quad w:=(g(x_i) )_{1\leq i\leq n},\quad A:=(\epsilon_{ij})_{1\leq i,j\leq n},\quad B:=(\epsilon'_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$

と定義する。ここで、

$\displaystyle \epsilon_{ij}:=\begin{cases}1 & (x_i\leq x_j) \\ 0 & (\text{otherwise})\end{cases},\quad \epsilon'_{ij}:=\begin{cases}\mu(x_i, x_j) & (x_i\leq x_j) \\ 0 & (\text{otherwise})\end{cases}$

である。

$\displaystyle vA=\Biggl(\sum_{x_i\leq x_j}f(x_i)\Biggr)_{1\leq j\leq n},\quad wB=\Biggl(\sum_{x_i\leq x_j}\mu(x_i, x_j)g(x_i)\Biggr)_{1\leq j\leq n}$

なので、 $y$ に対する主張の同値性を $y$ だけではなく $x_1, \dots, x_n$ 全てに対して同時に考えたものは

$w=vA \quad \Longleftrightarrow \quad v=wB$

という同値性で表すことができる。これは $A$ と $B$ が逆行列の関係にあれば成立するが、実際

$\displaystyle BA= \Biggl(\sum_{k=1}^n\epsilon'_{ik}\epsilon_{kj}\Biggr)_{1\leq i,j\leq n}= \Biggl(\sum_{x_i\leq x_k \leq x_j}\mu(x_i, x_k)\Biggr)_{1\leq i,j\leq n}=(\delta_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$

なので証明が完了する。 Q.E.D.

$P=\mathbb{N}$ (正整数全体集合)のときを考える。整除関係によって順序を与えると、 $d\mid n$ であるとき

$\displaystyle \mu(d, n)=\mu\left(\frac{n}{d}\right)$

が成り立つ。ここで、右辺の $\mu$ は通常のMöbius関数である。過去記事
実際、過去記事の補題１より、

$\displaystyle \sum_{d\mid d' \mid n}\mu\left(\frac{d'}{d}\right)=\sum_{d''\mid \frac{n}{d}}\mu(d'')=\delta_{dn}$

が成り立っている。従って、この場合の定理は過去記事のMöbiusの反転公式(その一)を与える。

次に、通常の大小関係によって $\mathbb{N}$ に順序を与えると、正整数 $n$ に対して $\mu(n,n)=1$ であり、 $n\geq 2$ であれば $\mu(n-1,n)=-1$ 、 $n\geq 3$ であれば $\mu(m,n)=0$ ( $m\leq n-2$ )がわかる。よって、定理は数列 $a_n, b_n$ に対して

$\displaystyle a_n=\sum_{i=1}^nb_i \quad \Longleftrightarrow \quad b_n=a_n-a_{n-1}$

となり( $a_0:=0$ )、これは望遠鏡和に他ならない。