インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

フィールズ賞受賞者一覧

受賞年 受賞者 著名な論文*1
1936*2 Lars Valerian Ahlfors
1936 Jesse Douglas
1950*3 Laurent Schwartz
1950 Atle Selberg A. Selberg, An elementary proof of the prime–number theorem, Ann. of Math. (2) 50 (1949), 305–313.*4
1954*5 小平邦彦
1954 Jean-Pierre Serre
1958*6 Klaus Friedrich Roth K. F. Roth, On certain sets of integers, J. London Math. Soc. 28, (1953), 245−252.*7 K. F. Roth, Rational approximations to algebraic numbers, Mathematika, 2, (1955), 1-20.
1958 René Thom
1962*8 Lars Hörmander
1962 John Willard Milnor J. W. Milnor, On manifolds homeomorphic to the 7-sphere, Ann. of Math., 64, (1956), 399–405.
1966*9 Michael Francis Atiyah
1966 Paul Joseph Cohen P. J. Cohen, The independence of the continuum hypothesis, Proc. of the Natl. Acad. of Sci. of USA, 50 (6), (1963)1143–1148. P. J. Cohen, The independence of the continuum hypothesis, II, Proc. of the Natl. Acad. of Sci. of USA, 51 (1), (1964), 105–110.
1966 Alexander Grothendieck
1966 Stephen Smale
1970*10 Alan Baker
1970 広中平祐 H. Hironaka, Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero: I, Ann. of Math., 79, (1964), 109–203. H. Hironaka, Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero: II, Ann. of Math., 79, (1964), 205–326.
1970 Sergei Novikov
1970 John Griggs Thompson
1974*11 Enrico Bombieri
1974 David Bryant Mumford
1978*12 Pierre René Deligne P. Deligne, La conjecture de Weil. I, Publ. Math. de l'IHÉS, (43), (1974), 273–307. P. Deligne, La conjecture de Weil. II, Publ. Math. de l'IHÉS, (52), (1980), 137–252.
1978 Charles Louis Fefferman
1978 Gregori Aleksandrovich Margulis
1978 Daniel G. Quillen
1982*13 Alain Connes
1982 William P. Thurston
1982 Shing-Tung Yau
1986*14 Simon K. Donaldson
1986 Gerd Faltings G. Faltings, Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlwörtern”.Invent. Math., 73 (3), (1983), 349–366.
1986 Michael H. Freedman
1990*15 Vladimir Drinfeld
1990 Vaughan F. R. Jones
1990 森重文 S. Mori, Projective manifolds with ample tangent bundles, Ann. of Math., 110 (3), (1979), 593–606.
1990 Edward Witten
1994*16 Jean Bourgain
1994 Pierre-Louis Lions
1994 Jean-Christophe Yoccoz
1994 Efim Zelmanov
1998*17 Richard E. Borcherds
1998 William Timothy Gowers
1998 Maxim Kontsevich M. Kontsevich, Intersection theory on the moduli space of curves and the matrix Airy function, Comm. in Math. Phys., 147 (1), (1992), 1–23.
1998 Curtis T. Mcmullen
1998 Andrew J. Wiles A. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem, Ann. of Math. 141 (3), (1995), 443-551. R. Taylor, A. Wiles, Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras, Ann. of Math. 141 (3), (1995), 553-572.
2002*18 Laurent Lafforgue
2002 Vladimir Voevodsky
2006*19 Terence Tao B. Green, T. Tao, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Ann. of Math., 167 (2), (2008), 481–547.*20
2006 Grigori Perelman G. Perelman, Proof of the soul conjecture of Cheeger and Gromoll, J. of Diff. Geom., 40 (1), (1994), 209–212. G. Perelman, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, arXiv:math/0211159. G. Perelman, Ricci flow with surgery on three-manifolds, arXiv:math/0303109. G. Perelman, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, arXiv:math/0307245.
2006 Andrei Okounkov
2006 Wendelin Werner
2010*21 Elon Lindenstrauss
2010 Stanislav Smirnov
2010 Ngô Bảo Châu
2010 Cédric Villani
2014*22 Maryam Mirzakhani
2014 Artur Avila
2014 Manjul Bhargava
2014 Martin Hairer

*1:フィールズ賞受賞理由の業績に関連するもので当ブログ管理人が調べたものをピックアップ。実際にはフィールズ賞は人に対して与えられ、受賞理由も特定の論文があげられるわけではないし、複数の業績をあげられるケースも多い。随時情報更新予定。

*2:オスロ(ノルウェー)

*3:ケンブリッジ(イングランド)

*4:解説: 素数定理の初等的証明(予告編) - INTEGERS

*5:アムステルダム(オランダ)

*6:エディンバラ(スコットランド)

*7:解説: ロスによるエルデシュ・トゥーラン予想の解決 - INTEGERS

*8:ストックホルム(スウェーデン)

*9:モスクワ(ロシア)

*10:ニース(フランス)

*11:バンクーバー(カナダ)

*12:ヘルシンキ(フィンランド)

*13:ワルシャワ(ポーランド)

*14:バークレー(アメリカ)

*15:京都(日本)

*16:チューリッヒ(スイス)

*17:ベルリン(ドイツ)

*18:北京(中国)

*19:マドリード(スペイン)

*20:解説: グリーン・タオ論文の§1, 4を読む - INTEGERS

*21:ハイデラバード(インド)

*22:ソウル(韓国)

Posetに対するメビウスの反転公式

(P, \leq)をposetとする(反射律・推移律・反対称律を満たす)。P局所有限であるとは、任意のx\leq yに対して\{z\in P\mid x\leq z\leq y\}が有限集合であるときにいう。

局所有限なposet Pに対して、Möbius関数 \mu(\cdot, \cdot)

\displaystyle \sum_{x\leq z \leq y}\mu(x,z)=\delta_{xy}

が成り立つように定義する(x\leq yに対してのみ\mu(x, y)を定義する。\delta_{xy}はKroneckerのデルタ。well-defined)。

定理 (Möbiusの反転公式) Pを局所有限なposetとし、f, gを関数P\to\mathbb{C}とする。このとき、P_y:=\{x\in P \mid x\leq y\}が有限集合であるような y \in Pに対して
\displaystyle g(y)=\sum_{x \leq y}f(x)
が成り立つことと
\displaystyle f(y)=\sum_{x \leq y}\mu(x,y)g(x)
が成り立つことは同値である。

証明. P_yが有限集合であるような y \in Pをとって固定する。P_y=\{x_1,\dots, x_n\}とする(n=\#P_y)。横ベクトルv, w, (n\times n)-行列A, B

\displaystyle v:=(f(x_i) )_{1\leq i \leq n},\quad w:=(g(x_i) )_{1\leq i\leq n},\quad A:=(\epsilon_{ij})_{1\leq i,j\leq n},\quad B:=(\epsilon'_{ij})_{1\leq i,j\leq n}

と定義する。ここで、

\displaystyle \epsilon_{ij}:=\begin{cases}1 & (x_i\leq x_j) \\ 0 & (\text{otherwise})\end{cases},\quad  \epsilon'_{ij}:=\begin{cases}\mu(x_i, x_j) & (x_i\leq x_j) \\ 0 & (\text{otherwise})\end{cases}

である。

\displaystyle vA=\Biggl(\sum_{x_i\leq x_j}f(x_i)\Biggr)_{1\leq j\leq n},\quad wB=\Biggl(\sum_{x_i\leq x_j}\mu(x_i, x_j)g(x_i)\Biggr)_{1\leq j\leq n}

なので、yに対する主張の同値性をyだけではなくx_1, \dots, x_n全てに対して同時に考えたものは

w=vA \quad \Longleftrightarrow \quad v=wB

という同値性で表すことができる。これはABが逆行列の関係にあれば成立するが、実際

\displaystyle BA= \Biggl(\sum_{k=1}^n\epsilon'_{ik}\epsilon_{kj}\Biggr)_{1\leq i,j\leq n}= \Biggl(\sum_{x_i\leq x_k \leq x_j}\mu(x_i, x_k)\Biggr)_{1\leq i,j\leq n}=(\delta_{ij})_{1\leq i,j\leq n}

なので証明が完了する。 Q.E.D.

P=\mathbb{N}(正整数全体集合)のときを考える。整除関係によって順序を与えると、d\mid nであるとき

\displaystyle \mu(d, n)=\mu\left(\frac{n}{d}\right)

が成り立つ。ここで、右辺の\muは通常のMöbius関数である。過去記事
実際、過去記事の補題1より、

\displaystyle \sum_{d\mid d' \mid n}\mu\left(\frac{d'}{d}\right)=\sum_{d''\mid \frac{n}{d}}\mu(d'')=\delta_{dn}

が成り立っている。従って、この場合の定理は過去記事のMöbiusの反転公式(その一)を与える。

次に、通常の大小関係によって\mathbb{N}に順序を与えると、正整数nに対して \mu(n,n)=1であり、n\geq 2であれば \mu(n-1,n)=-1n\geq 3であれば\mu(m,n)=0 (m\leq n-2)がわかる。よって、定理は数列a_n, b_nに対して

\displaystyle a_n=\sum_{i=1}^nb_i \quad \Longleftrightarrow \quad b_n=a_n-a_{n-1}

となり(a_0:=0)、これは望遠鏡和に他ならない。