において , とおきかえると
となる。
および
より
と書き直すことができ、
より
となる。
において , とおきかえると
となる。
および
より
と書き直すことができ、
より
となる。
次元Euclid空間に合同な次元球をオーバーラップがないように充填した際の密度の最大値をとします。現在までにが決定されているものは以下の通りです。
だけは簡単にわかりますが*1、でが決定されていることは著しく感じます。上記の値よりも密な球充填は絶対に存在しないということが数学的に証明されているというのです。想像するだけでその凄さに震えます。我々はどれだけ頑張って八次元空間に%以上八次元球を詰めようと思っても、もはやそれは無駄な努力なのです。
以下、非常に簡単にではありますが、最密球充填にまつわるお話をしようと思います。
1.1 を次元Euclid空間とする。Euclid距離をで表し、内積を
と定める。をLebesgue測度とする(は文脈判断で省略)。
1.2 を中心、半径の次元球とする()。とすると(には依存せず)
が成り立つ。n次元球の体積 - INTEGERS
1.3 が次元球充填であるとは、相異なる二点に対してが成り立つような集合を用いて
と表せるときにいう()。
1.4 次元球充填の密度を
と定義する。また、を
と定める。ただし、は次元球充填をわたる。
1.5 次の定理が示されている([Gr])。
つまり、最密球充填は必ず存在する。
2.1 正六角形による平面充填を行い各正六角形の内接円を考えることによって二次元球充填が得られる。は容易にわかる。
Thue ([Th])が1890年にこの定理の証明を宣言しているが間違いがあると考えられており、Tóth ([Tó])が1943年に厳密な証明を出版している。ここではHales ([H1])に書かれているRogersのアイデアに基づいた証明を紹介する。
2.2 定理2.1の証明 二次元球充填を任意にとる。半径はであると仮定して一般性を失わない。の各円について半径の同心円を考える(大きい円と呼ぶ)。大きい円が共通内点を持つ場合は二交点と各円の中心を結んで得られる二つの二等辺三角形を考える。
の円がオーバラップしないことより、二等辺三角形の共通底辺に対する角はを超えないことに注意。また、三つの大きい円が共通内点を持つことはない。というのも、の三つの円が最も近づいたとしても次のようになっている。
よって、二等辺三角形がオーバーラップすることはない。大きい円達の外側からなる集合を 、考えている二等辺三角形達のなす集合、大きい円の内部から考えている二等辺三角形を引いたもの達からなる集合をとすると、と平面の分割が得られる。各 におけるの密度がそれぞれ以下であることを示せばよい。まず、におけるの密度はである。また、におけるの密度は面積比を考えてであることがわかり、これはより小さい。よって、後はにおけるの密度を考察すればよい。
の二等辺三角形を一つとって考察する。この二等辺三角形を点は固定したまま一辺の長さがの正三角形に写す線形変換を考える。
このとき、中心のの円はで楕円に写るが、二等辺三角形およびその二等辺三角形との円との共通部分(上図でに囲まれる部分)について、で変換した後も面積の比は不変である。また、もとの二等辺三角形の等辺の長さはなので、がわかる。よって、考えている密度は正三角形に占める半径の扇型の密度で上から押さえることができる(先ほどのを超えないという注意から楕円は縦長である)。そして、それはである。
2.3 ハニカム球充填の場合は であり、線形変換は恒等変換である。
3.1 密度がであるような三次元球充填が存在する。
面心立方格子構造 - Wikipedia
六方最密充填構造 - Wikipedia
これらが最密構造を与えるだろうということは非常に古くから予想されていた(HarriotとKeplerに始まる)。
Gauss ([Ga])は格子球充填(4.6)に限定した場合にKepler予想を解決していた。
3.2 Kepler予想はHalesを主導に証明されているが、この記事では詳細を述べることができない。1998年には証明を宣言し、2005年に核となる論文([H2])が出版されている。彼の証明は複雑なコンピュータ計算を伴うものであるが([HF])、2015年には形式的証明のプロジェクトが成功したことが報告されている。
格子があれば付随する球充填を得ることができる。の場合には非常に良い格子が存在する。
4.1 が格子であるとは、の-線形空間としての基底を用いて
と表されるときにいう。が全て整数であるときは整格子であるといい、が全て偶数であるときは偶格子であるという。が成り立ち、であるときはユニモジュラーであるという。二つの格子が同型であるとは直交線形変換で移り合うときにいう。
4.2 はユニモジュラーな整格子であるが、偶格子ではない(奇格子)。
で定義されるは偶格子であるが、ユニモジュラーではない。
4.3 を格子とする。このとき、の双対格子を
で定める。が整格子であればが成り立ち、更にユニモジュラーであればが成り立つ(自己双対)。
4.4 -格子は
と定義することができる。名前の由来はが-ルート系に付随するルート格子になっていることから。の二点間距離はである。次の定理はMordell ([Mo])による。
4.5 Leech ([Le])はLeech格子を構成した。を拡張二元Golay符号(解説略)とし、を
と定義すると
はLeech格子の一つの構成となっている。の二点間距離はである。Conway ([Con])はLeech格子の次の特徴付けを与えた。
4.6 次元球充填が格子球充填であるとは、格子が存在してを構成する球の中心のなす集合がに一致するときにいう。による格子球充填を構成する球の半径がであるとき、
が成り立つ。の二点間最小距離をとすると、として取り得る最大値はである。
4.7 -格子の二点間最小距離はであり、-球充填(半径の八次元球による-格子球充填)の密度は(4.6), (1.2) およびのユニモジュラー性より
である。
4.8 Leech格子の二点間最小距離はであり、Leech球充填(半径の次元球による-格子球充填)の密度は(4.6), (1.2) およびのユニモジュラー性より
である。
4.9 次元球充填が周期的球充填であるとは、或る格子が存在してが任意のに対して成り立つときにいう。
5.1 のFourier変換 を
と定義する。
5.2 がSchwartz関数であるとは、任意の多重指数と正整数に対して
が成り立つときにいう。Schwartz関数全体のなす空間をと書く。であれば、そのFourier変換についても である。
5.3 (Poisson和公式) 格子, に対して
が成り立つ。これは一種の双対性である。
5.4 より一般にに対して
が成り立つ。
6.1 とする。が(次元)-補助関数であるとは、
が成り立つときにいう。-補助関数の条件は原点を固定する回転変換で不変なので、必要ならば対称化することによって は球対称関数(のみに依存する関数)であると仮定してよい。このとき、Fourier変換 も球対称関数となる。
6.2 Cohn−Elkies ([CE])によって示された次の定理は一般のに対してを上から押さえることに利用でき、更にを確定させることにも決定的に重要な役割を果たす。
以下、(6.3)から(6.5)でこの定理を証明する。
6.3 以下、(6.5)まで次元-補助関数 が存在すると仮定する。任意の次元球充填に対してが成り立つことを示す必要があるが、まずが格子球充填の場合を考える。実際は次の(6.4)で周期的球充填の場合の証明に含まれているが、証明のアイデアを見るのによいのでこの節をおく。
を格子とする。相似拡大・縮小で密度は変わらないので、の二点間最小距離はであると仮定しても一般性を失わない。-格子球充填として球の半径が最大であるの場合に考えれば十分なので、(4.6)より
が示すべきことであり、つまりを示せばよい。
-補助関数 と格子に対するPoisson和公式(5.3)
について、原点を除くの元は絶対値が以上なので、(6.1.2)より左辺は で上から押さえられる。一方、(6.1.3)より右辺はで下から押さえられる。よって
がわかるが、(6.1.1)よりが得られる。
6.4 周期的球充填の場合を考える。格子による周期的球充填を考え、の作用によるの球の中心の軌道の代表系をとする。球の半径はであると仮定して一般性を失わない。このとき、(4.6)と同様に考えて
が成り立つ。よって、この場合に示すべきことはである。を思い出して、(5.4)を用いると
が成り立つことがわかる。球の半径がなので、またはであればであり、(6.1.2)より左辺はで上から押さえられる。また、右辺はのときだけを残すことによって(6.1.3)よりで下から押さえられる。従って、
がわかり、(6.1.1)よりが示された。
6.5 定理1.5で存在する次元最密球充填をとる。格子を任意にとってをの基本領域とする(つまり、はと合同な多面体で分割されている)。このとき、
が成り立つ。よって、を任意にとったときが十分大きければ
となる。ここで、をの境界と交わりを持たない球のみからなるの部分集合とする。境界部分は次元が落ちているため、が十分大きければ
とできる。よって、
を得る。すなわち、を単位として繰り返したによる周期的球充填をとすれば
であり、(6,4)より
が示された。は任意なので、が結論付けられた。
6.6 Cohn−Elkiesは という形の関数(は多項式)を用いて数値実験で実際に補助関数を作り、定理6.2を適用することによって多くのについての上からの評価の新記録を打ち立てた。そして、彼らの実験結果はの場合については定理6.2による評価で予想されるの値(それぞれ-球充填、Leech球充填の密度(4.7), (4.8) )に真に到達できるだろうということを示唆していた。
6.7 を次元-補助関数とし、を二点間最小距離がの格子とする。このとき、-格子球充填の密度がに一致するための必要十分条件は がの元を全て零点に持ち、がの元を全て零点に持つことである。これは、(6.3)の不等式評価において等号が成り立つことと同値であることからわかる。この条件が成り立つとき、Poisson和公式から が成り立つ。
6.8 球対称な が-魔法関数であるとは、, に対する(6.1.2), (6.1.3)を満たし、と がともになるを零点にもつときにいう。-魔法関数が存在すれば定理6.2によってが確定する。
6.9 球対称な が-魔法関数であるとは、, に対する(6.1.2), (6.1.3)を満たし、と がともになるを零点にもつときにいう。-魔法関数が存在すれば定理6.2によってが確定する。
6.10 (6.6)で述べた数値実験による示唆からCohn−Elkiesは次を予想した。
関数とそのFourier変換について、同時に与えられた零点を持つようにすることが一つの困難であった。
7.1 を偶数とする。このとき、をEisenstein級数
とする。はRiemannゼータ関数で、。はに関する重さのモジュラー形式ある。
7.2 を
で定める。これはモジュラー形式ではないが、
を満たす準モジュラー形式である。
7.3 三つのテータ関数 を
と定義する。がに関する重さのモジュラー形式となっている。
7.4 Viazovska ([Vi])は長年懸案であった次の定理を鮮やかに解決した。
7.5 §6の結果により、定理7.4を示すには-魔法関数が存在することを示せばよいが、Viazovskaは実際に-魔法関数を次のように構成した。をそれぞれ
とするとき、を
と定義する。この表示はで収束するが、に解析的に延長できる。そうして、(準)モジュラー性を要として、Viazovskaはが実際に-魔法関数(6.8)になっていることを解析で証明した。
7.6 Viazovskaの手法を元にして、Cohn−Kumar−Miller−Radchenko−Viazovskaによって次元の場合も解決された。
7.7 §6の結果により、定理7.6を示すには-魔法関数が存在することを示せばよい。をそれぞれ
とするとき、を
と定義する。この表示はで収束するが、に解析的に延長できる。そうして、(準)モジュラー性を要として、が実際に-魔法関数(6.9)になっていることが解析で証明される。
以上で最密球充填に関する簡単な解説を終わります。
[Con] J. H. Conway, A characterization of Leech’s lattice, Invent. Math. 121 (1969), 119–133.
[Coh] H. Cohn, Conceptual breakthrough in sphere packing, Notices of the American Mathematical Society 64 (2017), 102-115.
[CE] H. Cohn, N. Elkies, New upper bounds on sphere packings I, Annals of Mathematics, 157 (2003), 689–714.
[CKMRV] H. Cohn, A. Kumar, S. Miller, D. Radchenko, M. Viazovska, The sphere packing problem in dimension , Annals of Mathematics, 185 (3) (2017), 1017–1033.
[Ga] C.F. Gauss, Besprechung des Buchs von L.A. Seeber: Intersuchungen über die Eigenschaften der positiven ternären quadratischen Formen usw, Göttingsche Gelehrte Anzeigen, (1831).
[Gr] H. Groemer, Existenzsätze für Lagerungen im Euklidischen Raum, Math. Z. 81 (1963), 260–278.
[H1] T. Hales, Cannonballs and honeycombs, Notices of the American Mathematical Society, 47 (4) (1831), 440–449.
[H2] T. Hales, A proof of the Kepler conjecture, Annals of Mathematics, 162 (3) (2005), 1065–1185.
[HF] T. Hales, S. P. Ferguson, The Kepler conjecture, Discrete and Computational Geometry, 36 (1) (2006), 1–269.
[Le] J. Leech, Some sphere packings in higher space, Can. J. Math., 16 (1964), 657–682.
[Mo] L. J. Mordell, The definite quadratic forms in eight variables with determinant unity, J. Math. Pures Appl. 17 (1938), 41–46.
[Th] A. Thue, Über die dichteste Zusammenstellung von kongruenten Kreisen in einer Ebene, Norske Vid. Selsk. Skr. No.1 (1910), 1–9.
[Tó] L. F. Tóth, Über die dichteste Kugellagerung, Math. Z. 48 (1943), 676–684.
[Vi] M. Viazovska, The sphere packing problem in dimension , Annals of Mathematics, 185 (3) (2017), 991–1015.
丸の内で共にビールを飲みながら§2についてコメントをくださったWalker氏に感謝致します。
*1:「一次元球」は「線分」です。
Bertrandの仮説の主張は次のようなものでした。
Bertrandの仮説で考察している区間をに対するに拡張することを考えたとき、次の定理が成立します。
ただし、の存在性のみを保証しているこの定理はBertrandの仮説の完全な一般化ではありません。Bertrandの仮説はと取れることまで主張しています。
として取り得る最小の整数値を考えることにしたとき、幾つかのに対するが歴史的に求められてきました。
例えば、
J. Nagura, On the interval containing at least one prime number, Proc. Japan Acad. Ser. A 28 (1952), 177–181.
ではが示されています。また、仮面ライダービルドの第48話ではが紹介されています。Dusartの結果を利用して、ここでは次の定理を紹介しておきます。
証明. Dusart
P. Dusart, The th prime is greater than for , Math. Comp. 68 (1999), 411–415.
でであれば
の間に少なくとも一つは素数が存在することが示されており、であることからであることがわかる。の整数部分はであるが、の次の素数はなので、でなければならない。あとは素数列
をみればが確定する。 Q.E.D.
さて、定理1は十分大きいに対して区間が少なくとも一つの素数を含むことを主張していますが、より強く任意の正整数について、十分大きいに対して区間が少なくとも個の素数を含むこともいえます。実際、次が成り立ちます。
この定理自体は素数定理から即座に従いますが、素数定理の初等的証明と深い関係があります。
において素数定理の初等的証明に関するSelbergとErdősの関係について少し解説しました。彼らの論文に記載の内容をもとに、もう少し詳細に述べると
のようになっているようです。6. のSelbergによる証明は上記記事において既に解説しました。この記事では
P. Erdős, On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem, Proc. Nat. Acad. Scis. U.S.A. 35 (1949), 374–384.
に基づいて、2. の証明を解説しようと思います*1。
漸近挙動は原則で考える。をChebyshev関数とするとき、ここで使用した不等式を利用することによって定理2は次の定理と同値であることがわかる。
次の二つの事実は前提知識として用いる。
証明. チェビシェフの定理 - INTEGERS Q.E.D.
証明. 素数定理の初等的証明(Selbergの漸近公式編) - INTEGERSにおける(1)である。 Q.E.D.
証明. Selbergの漸近公式から導出できる(ここを参照)。 Q.E.D.
以下、定理3を背理法で証明するため、或るが存在して、という状態において
が成り立つようないくらでも大きいが存在すると仮定する*2。をこのようなの上限とする。このとき、である。理由: Chebyshevの定理より、が存在して、十分大きいに対してが成り立つ。このとき、
が成り立ち、ある程度大きいに対しては(1)の状況にできないことがわかる。
実際には、は最大値として実現している。
証明. を任意にとり、かつ(1)を満たすようなをとる。補題1と(1)より、いくらでも大きいが存在して
が成り立つ。つまり、となるようなが存在する。よって、の任意性から結論が得られる。 Q.E.D.
証明. Selbergの漸近公式の差を取ることによって
が得られる。補題2より
であり、
と変形できるので所望の漸近公式が示された。 Q.E.D.
これを利用して以下の素数をbad primeとgood primeに分ける。
証明. 背理法で証明する。つまり、いくらでも大きいが存在して、そのようなについて、という状況で、の和がとならないだけ多くの以下の素数に対して(3)の漸近公式が成り立たないとする。必要であればそのような素数達の部分集合をとることによって、或る, が存在して
および
が成り立つと仮定してよい( (3)の否定を考えて(5)で十分なことには補題1を用いている)。(4)とMertensの第一定理から
が成り立つため、補題1、(4)、(5)、(6)を用いると
となって補題3に矛盾する。ここで、和の部分に補題1を適用して得られる誤差項がとなることには以前証明した漸近公式を使えばよい。 Q.E.D.
証明. 補題2で存在するであって(適宜)十分大きいものを考える。また、を十分大きい数とする。に対して、とする。このとき、に依存しない或るが存在して
が成り立つ。理由:
であるが、Chebyshevの定理よりが十分大きいことからが十分大きいに対して成立するので、と取れることがわかる。
である。理由: に対して
であれば、(7)よりとなって、(2)に矛盾する。 (8)より、少なくとも以上のについてである。そのようなについてをの最小素数とする。今、そのような全てのについて
がで成り立つようなであるの元が存在するが、で(9)が成立するようなが存在しないと仮定しよう(は依存)。このとき、
とするとである。とおくと、
であり、であるから、の最大性より或るが存在して
が成り立つ(は以外には依存しない)。よって、
が成り立つ。さて、および(とをとっておくことに)より
なので、である。よって、少なくとも以上の達について、は重なりがない。従って、(10)より
が得られた。これは(2)から(十分大きいについては)許容されていない。よって、背理法により主張が示された。 Q.E.D.
補題5の状況のおよびをとる。であるようなについては
が成り立つ。理由: 成り立たないと仮定する。このとき、補題1よりが存在して
となる。より
なので、(12)と合わせて
となる。が存在して
が成り立てば補題1に矛盾する。(13)は
すなわち、
と同値である。なので、を十分小さく取ればこれは成立する。 に対する(11)とより成立する式
を組み合わせることにより、
が得られる。であるようなについては
が成り立つ。理由: なので
と評価できる。よって、
が成り立てばよいが、なので
がいえればよい。右辺はでに収束するので、十分小さいについてこれは成立している。 の場合の(15)により成立する式
を合わせることによって
が得られる。(14)または(16)に(11)または(15)をtelescopingすると
を得る。より
なので()、(17)より
となる。これはChebyshevの定理に矛盾する。 Q.E.D.