MathWorldのの記事[We]によれば、は次のような対称的な二重級数表示を持つそうです。
[We]には"(B. Cloitre, pers. comm., Dec. 9, 2004)"というクレジットが書かれています。なんとも綺麗な式ですね。
Eulerの等式
Eulerは多重ゼータ値の最初の非自明な線形関係式*2といえる
を発見しました。この等式のよく知られた証明を紹介します。Keyとなるのは望遠鏡和の計算
と部分分数分解
です。
証明 (by Steinberg). 望遠鏡和を作ることにより
と変形でき、部分分数分解により
なので、
となって証明が完了する。 Q.E.D.
[BB]にはEulerの等式の三十二通りの証明が紹介されています。
Hoffmanによる双対関係式の発見
Hoffmanは多重ゼータ値の持つ美しい双対性を発見し、[Ho]において予想として述べています*3。まずはその主張を確認しましょう。
許容インデックスは正整数を用いた次のような一意的な表示を持ちます。
ここで、はの省略記法です。これはインデックスの各成分がであるか以上であるかに着目した表示で、以上の成分の個数をの高さといって、と表します。
この表示を用いて、の双対インデックスを
と定義します。定義から明らかには許容インデックスであり、が成り立ちます。
例えば、より、となって、この場合は自己双対になっています。次により、がわかります。ということは、Eulerの等式は双対関係にあるインデックスの多重ゼータ値二つが等しくなっていることを意味しています。これが一般的に成り立っているだろうというのがHoffmanの予想した双対関係式です(証明されているので定理と書きます)。
定理 (双対関係式) 任意の許容インデックス
に対して、
が成り立つ。
Hoffmanはこの予想を完全には解決することができませんでしたが、の場合に限って証明を付けています。つまり、正整数に対して
を示しています(これだけでもEulerの等式の一般化です)。それは一言で述べると「Mordell型多重級数を二通りの方法で計算する」もので、大体次のようなものでした。一つ目の計算ではMordellが証明した等式
を用います(この式の証明には積分を使っています)。この式をに関して回微分してを代入することによって
が得られます。一方、Hoffmanは次のような無限級数の等式が成り立つことを帰納法を使って上手く証明しています。
補題 が
変数の対称関数であるとき、
が成り立つ。
一般の対称関数 を考えることによって上手く帰納法が回るのです。そうして、に対して補題を適用することによって
が得られ、からが得られるという証明です。何かの量を二通りで計算するという証明は良い証明であることが多いですが、計算したらそうなったという感じで、「双対性」が"見える"証明ではないと感じました。
Kontsevichによる多重ゼータ値の反復積分表示
多重ゼータ値は多重級数として定義された実数ですが、実は周期としての積分表示を持ちます。
定理 (多重ゼータ値の反復積分表示) とする。
に対して、絶対収束
重積分
を
と定義する。このとき、許容インデックス
に対して
が成り立つ。
つまり、多重ゼータ値は多重級数と多重積分という二面性を持ち、積分の基本変形を多重ゼータ値の関係式の証明に持ち込むことが可能となりました。なお、[Z]によればKontsevichがこの表示を指摘したとのことですが*4、証明は難しくありません。
証明. 記号が繁雑になるのを避けるためにのときに証明する(一般の場合はそれで了解されるであろう)。無限等比級数の和の公式を用いて積分を反復することによって
が得られる。
なので、が示された。 Q.E.D.
双対関係式の"あっけない"解決
多重ゼータ値は実は周期である(積分表示を持つ)。この事実が判明するやいなや、一時期は予想であった双対関係式が自明なものとなってしまいました。というのも、変数変換
を考えると、積分の変数変換公式によって
が得られ、
となるからです。これは双対性の"見える"証明です。級数をいじっているだけではとても証明できそうになかった双対関係式ですが、多重ゼータ値が積分表示という形態になることによって使える技が増え、一瞬にして双子であると入れ替わることができるようになったのです。
和公式
ここで、いったん双対関係式の物語から離れて、多重ゼータ値の別の関係式である和公式のお話をしましょう。Eulerの等式は双対関係式だけではなく、様々な関係式族の特別な場合として得られます。Eulerは双対関係式には到達していませんが、次のような二重ゼータ値の和公式を発見・証明しました。とします。
重さがで深さがの許容インデックスに対する全ての二重ゼータ値を足し合わせるとRiemannゼータ値になるという公式です。の場合がEulerの等式なので、拡張になっていることがわかります。重さがの場合は
重さがの場合は
などとなっています。
深さがの場合は同じような規則性があるでしょうか?Markettが[M]において重さが以下の場合を計算しており、HoffmanとMoenが[HM]において次を証明しました*5。とします。
これらの計算に先立って、SchmidtとMoenが次を予想しています*6。これも今では定理です。
定理 (和公式) を
以上の整数とし、
を正整数とする。このとき、
が成り立つ。
Granvilleによる和公式の証明
和公式はGranville ([G])によって華麗に解決されました。の左辺をとするとき、母関数は
となります*7。
と部分分数分解してから、の係数を比較することによって
が得られます。各に対してとおいて和の順序を入れ替えることによって
と書き直せます。ここで、
です。次に、の母関数を求めます。とすることにより、
と書き換えられるため、の母関数は
とわかります。についてはとおくと
となります。部分分数分解と望遠鏡和によって
と変形できます。続いて
と変形できます。このような変形を繰り返すことによって
がわかりました*8。よって、の母関数は
です。従って、
は
のの係数であり、に等しいことがわかりました。つまり、より
となって、和公式の証明が完了します。
Zagierによる和公式の証明
Zagierによる和公式の別証明が言い伝えられています(未出版)。Granvilleによる和公式の証明は級数変形によるものでしたが、Zagierによる証明は多重ゼータ値の反復積分表示を利用した証明です。
なので、をみると微分形式の個数が深さに等しいことがわかります。このことから、を
と表すことができます。Granvilleはを固定してに関する母関数を取りましたが、Zagierはを固定してに関する母関数を取ります。それは次のように上手く計算できます。
ここで、という変数変換を考えます。逆向きに解くと で、 は に対応し、
なので、ヤコビアンを取れば となって
が得られます。よって、の係数を比較してを冪級数展開することによって
とできます。ここで、ガンマ関数の変数変換によって正整数に対して
が成り立つため、
と証明が完了します。
大野関係式
これまでに双対関係式と和公式という多重ゼータ値に関する二つの線形関係式族を紹介しました。これらはともに[Ho]で予想として述べられたもので、どちらも数年以内に解決されました。[Ho]においてHoffmanは現今「Hoffmanの関係式」と呼ばれる関係式族についても書いており、こちらは級数変形を使った証明を与えています([Ho, Theorem 5.1] 紹介は省略)。
これらは関係式の集合としても式の見た目上でも互いに異なる関係式族なわけですが、大野泰生 ([O])が大変驚くべき発見をしました。実は多重ゼータ値にはもっと一般的に成立する双対性があって、双対関係式・和公式・Hoffmanの関係式は全てその双対性の一部に過ぎないというのです。これを我々は大野関係式とよびます。
許容インデックスと非負整数に対して、大野和を
とおきます。
定理 (大野関係式) 任意の許容インデックス
と非負整数
に対して、
が成り立つ。
の場合が双対関係式に他なりません。の場合の右辺に現れる各多重ゼータ値にそれぞれ双対関係式を適用したものがHoffmanの関係式です。, , の場合を考えると和公式になっています。
大野関係式のオリジナル証明
大野先生による大野関係式の証明を紹介します。一つの考え方として、大野関係式は双対関係式と和公式の同時一般化であるため、両者の証明を共に一般化したような形の証明を探るというものがあります。和公式についてはGranvilleによる級数変形を利用した証明とZagierによる積分を利用した証明がありますが*9、双対関係式については積分証明しかないので、Zagierの証明方法を拡張するというアイデアが得られます。大野先生はこれを次のように実行しました。反復積分の記号をここではと中身をwordとして表示することにします。
収束インデックスと非負整数を固定して、とおきます。となるような非負整数と、に対してを
と定めます。このとき、大野和は
と書けます*10。を固定して、母関数
を考えます。これはZagierの証明のときと同じように次のように変形できます。
ここで、とおいています。
および
なので、とおいて
がわかります(変数は適当に番号を付け替えています)。ここまで変形してからの係数をみることによって
という表示が得られました。多項定理
とより
と大野和の積分表示が得られます。ここで、
という変数変換を行いましょう。まず、逆向きに解きます。
なので
であり、繰り返すことによって
がわかります。同様に
です()。この表示によって
がわかります。よって、ヤコビ行列は上三角行列で
が得られました。大野和の被積分関数にある の部分は次のように計算できます。
そこで、を
と定義しておきます。最後に積分領域については
となっています。以上により、を変数変換して
になることがわかりました。なる変数変換を行うと、が
という対称性を持つため、という対応がの定義だったことを思い出して、が得られます。これで証明が完了しました。
Zagierによる和公式の見事な証明がベースとなっているとはいえ、大野先生のこの証明もよくこんなに美しい計算を遂行できたものだなと感動します。特にZagierの場合とは変数変換が微妙にずれていてヤコビ行列が上三角になることに注目してください。和公式のときは「計算しきる」という感じでしたが、今回は双対性であるため、対称性を持った積分表示を与えることが目的になります。これは私にはRiemannによるRiemannゼータ関数の関数等式の第二証明を思い起こさせます。Riemannゼータ関数の場合は
という対称的な積分表示を与えており、大野和の場合は
という対称的な積分表示を与えています。黒川先生のご著書の中にRiemannの第二証明の計算は何度やっても心が洗われる思いだという旨のことを書かれていた記憶がありますが、大野先生のこの計算も何度やっても心が洗われます。
大野和の母関数
和公式の証明において、Granvilleが用いた母関数とZagierが用いた母関数は異なるものでした。大野先生の証明はZagierの証明の拡張でしたが、Granvilleが用いた母関数の大野和への拡張をここで求めておきましょう。を許容インデックスとし、なる実数を考えます。このとき、に対して無限等比級数の和の公式より
なので、付き多重ゼータ値を
と定義すれば、
と展開されることがわかります。よって、大野関係式は付き多重ゼータ値の双対関係式
と同値であることがわかりました。
大野関係式の奥田-上野による証明
現在までに大野関係式の証明は複数知られています。一つは[IKZ]の方法です。井原-金子-Zagierは[IKZ]において多重ゼータ値の導分関係式と呼ばれる大きな関係式族を証明しています。また、代数的に「(大野関係式) = (導分関係式) + (双対関係式)」であることを示しているので、反復積分表示によって証明される双対関係式を認めて導分関係式と合わせることによって大野関係式の新証明を与えていると考えることができます。(大野関係式)-(双対関係式)を俗に弱大野関係式とよびますが、小山による井原-金子-Zagierとは異なる弱大野関係式の導出方法も存在します。また、Ulanskii ([U])は付き多重ゼータ値の積分表示を考えて(双対関係式に限っても)新しい変数変換を与えることによって大野関係式を証明しています。和山 ([Wa])は修士論文において荒川-金子のゼータ関数の正整数での値の二通りの計算方法(金子-津村によるものとKuba, 山本によるもの)の比較が大野関係式を導くことを示しています。この節では奥田-上野 ([OU])による大野関係式の別証明について書こうと思います。
奥田-上野は多重ポリログのLanden型接続公式(との接続公式)から大野関係式が得られることを発見しました。例えばダイログに対するLandenの公式は
です。もう少しだけ奥田-上野の仕事のキーワードを述べると、まず付き多重ゼータ値の満たす差分関係式を証明します。その差分関係式と多重ポリログの満たす微分方程式、Mellin変換を用いることによって大野関係式が簡約大野関係式と呼ばれるa prioriには弱く見える関係式と同値であることを示します([OU]の主定理)。そうして、簡約大野関係式はLanden型接続公式の逆Mellin変換によって得られるため大野関係式の証明が得られるという流れです。
実は奥田-上野の差分関係式を用いるとLanden型接続公式を経由せずとも大野関係式の別証明が得られることが[OU]の最後に書かれており、この証明は若干長いものの大野関係式の類似に対しても機能するという利点があります。他の多数の数学的概念でもそうですが多重ゼータ値にも類似が定義されており(-多重ゼータ値)、とすると多重ゼータ値になります。Bradley ([Bra])および奥田-竹山 ([OT])は奥田-上野の手法によって-多重ゼータ値も大野関係式を満たすことを証明しました。-多重ゼータ値にもJackson積分を使った表示があるのですが、変数変換の取り扱いが難しいため大野先生のオリジナル証明の類似版は知られていません。
では、奥田-上野の差分関係式を用いた大野関係式の別証明を以下詳しくみていきましょう。と書けるとき、とおきます(便宜的にまたはのときにとしておきます)。, , とすると、より
と書けることがわかります。実はが正整数でなければこれは絶対収束します:
補題1 ,
という略記を用いることにする。
に対して
とおくとき、
は
で広義一様絶対収束し(従ってこの範囲で正則)、
が成り立つ。
証明. 部分分数分解の公式より、
が成り立つため、和の順序交換さえ保障されていればGranvilleの和公式のときと同様に所望の級数表示を得る。順序交換の保証には を固定して
が広義一様収束することを見ればよい。を固定するとき、, とおく。すると、であり、相加相乗平均の不等式より
が成り立つ。のときは, のときはであることに注意して
と評価できるが、が正整数を避けた内のコンパクト集合上の元であれば或る定数が存在して
と評価できるため*11、
となって、
に到達する。これはRiemannゼータ値の収束性から有限である。 Q.E.D.
以下、とします。
補題2 が正整数であるとき、
が成り立つ。
証明. 眺めてみると自明であるとわかる。 Q.E.D.
とに対して、を
とおきます。また、やがの場合であっても次の二つのルールによって一部定義を認めます。
補題を五つ用意します。
補題3 であれば
が成り立つ。
証明. に対して、を
とおく。このとき、補題2より
と計算できる。 Q.E.D.
補題4 であれば
が成り立つ。
証明. は補題3と同様とする。補題2より
と計算できる。 Q.E.D.
証明. に対して
とする(ただし、)。このとき、補題2より
と計算できる。 Q.E.D.
補題6 であれば
が成り立つ。
証明. 各をずらすことによって
と変形でき、
と和を分けることによって所望の式を得る。 Q.E.D.
補題7 であれば
が成り立つ。
証明. より、各をずらすテクニックによって
と計算できる。 Q.E.D.
命題 とする。このとき、差分関係式
が成り立つ。ここで、
は
の総和であり、他も同様。また、上の差分関係式は
を
に置き換えても成立する。ここで、
とする。
証明. まず、の場合を示す。より
である。の場合を考える。補題3よりこれは
に等しい。補題5を回適用することによって
に変形でき、補題6よりこれは
に等しい。これは
に他ならない。端がのときはと定義していることを思い出して、の場合は補題3の代わりに補題4を適用すればよく、の場合は補題5の適用を回にし、補題6の代わりに補題7を適用すればよい。は文字を入れ替えているだけなので、やはり同じ差分関係式を満たす。 Q.E.D.
大野関係式の証明 (by 奥田-上野 [OU]) 付き多重ゼータ値の双対性
を重さに関する帰納法で証明する。の場合は自明。以下、の重さより小さい場合の成立を仮定する。命題より差分関係式
が成り立つが、帰納法の仮定によって殆どの項は消え、残りは
という関数方程式となる。補題1より有理型関数は
という形をしている。もし、であれば よりはを極に持つことになってしまうが、の定義にさかのぼればはを極に持たない。よって、任意のに対してであり、が成り立つ。これが示したかった式である。 Q.E.D.
コネクターの発見と双対関係式の新証明
とに対して
と
を上手く連結して連結和を定義したいのですが、そのためにコネクターと呼ばれる式を見つけます。この場合のコネクターは
という式です(二項係数の逆数ですが、対称性を強調するためにこのように書いています)。
それでは、双対関係式の新証明を鑑賞しましょう。
双対関係式の新証明 (by [SY])
をインデックスとする(許容インデックスでなくてもよいし空インデックス*15でもよい)。に対して、連結和を
と定義する。このとき、定義より連結和は対称性を満たし、許容インデックスに対してである。
正整数と非負整数に対する望遠鏡和の等式
をの定義においてとして適用することによって
が成り立ち、連結和の対称性より
も成立する。許容インデックスに対して、上記二つの関係式を回適用することによって
と双対関係式が証明される。 Q.E.D.
回の式変形を要しますが、それらは全て同じ一つの等式なので証明は単純になっています。また、の証明が私のお気に入りである望遠鏡和であるというのも好きな点です。具体例を見ると、Eulerの等式の場合は
と証明されます。
重さがのときはと自己双対でしたが、我々の手法では
と途中でを経由して自分自身に戻ることがわかります。この正体は定義より
なので、はの自分自身への変身途中の姿であることがわかりました!
大野関係式の新証明
上記新証明の意義は幾つか考えられますが、例えば級数の研究にコネクターと連結和という新しい視点を導入したことや*16、(関数体版などの)他の種類の多重ゼータ値であって反復積分表示が知られていないような場合にも新しい道を提供できた可能性があることが挙げられます。
一方で単に双対関係式の証明という観点で見た場合、今回の証明はとても単純ではあるものの、元々知られていた反復積分による証明がこの上なく単純だったためにどれほどの利点があるかわかりません。ところが、大野関係式への拡張を考えた際に予期せぬ利点が見えてきます。
大野先生による大野関係式の証明を思い出すと、双対関係式とは違って非自明な計算をある程度の量だけ実行する必要がありました。奥田-上野による大野関係式の証明は双対関係式に特殊化して簡単になるということはなく、証明を追ってみると感動を覚える巧みな手法ですが、やはりそれなりの分量が必要となります。また、関係式族と見ても大野関係式と双対関係式の差は導分関係式と呼ばれる巨大な関係式族になっており、導分関係式の存在する証明達の中に(私が知る限りでは)自明なものはありません。以上のような観点で、双対関係式よりも大野関係式の方がより非自明なものであり、その差は非常に大きいという認識を持っています。
にも関わらず、驚くべきことに、[SY]の証明手法は大野関係式に拡張しても証明の長さが殆ど変わりません!!
大野関係式の新証明 (by [SY])
をインデックスとする(許容インデックスでなくてもよいし空インデックスでもよい)。, 実数に対して、連結和を
と定義する(はPochhammer記号)。このとき、定義より連結和は対称性を満たし、許容インデックスに対してである。
正整数と非負整数に対する望遠鏡和の等式
をの定義においてとして適用することによって
が成り立ち、連結和の対称性より
も成立する。許容インデックスに対して、上記二つの関係式を回適用することによって
と付き多重ゼータ値の双対性が証明される。の冪級数に展開しての係数を比較すればが得られる。 Q.E.D.
双対関係式の証明と大野関係式の証明に差がないものとしては他にUlanskiiによるものがあって([U])、そちらも大変単純で美しい証明なのですが、反復積分の変数変換による証明であるため-多重ゼータ値の大野関係式の証明には延びません。一方、上記証明は-多重ゼータ値にしてもそのまま適用できます!([SY]参照)
また、和公式の場合はGranvilleによる級数変形による証明が存在していましたが、[SY]の証明は和公式に限定してもGranvilleの証明より短くなっています!
Granvilleの証明は母関数を考えた後に部分分数分解して係数を取り出し、現れたとという二つの和をまた母関数で理解して計算するというものでしたが、[SY]の場合は
と左から右に輸送していって最後に係数比較するだけでよくなっています。
この記事は以上で終わりたいと思いますが、大野関係式の新証明が私の好きな証明です。
参考文献
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