インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

ζ(3)

ロジェ・アペリーと奇跡の証明〜数学界を震撼させた伝説の老兵〜

この記事ではApéryの定理Apéryの定理 は無理数である。ここで、である(Apéry定数と呼ばれることもある)。のApéryによる証明に纏わる歴史および証明の解説を行います。 アペリー・ショック Apéryの生涯 Apéryの論文に書かれていること 無理数であることを示す…

ζ(3)の二項係数を用いた級数表示

この記事ではを証明します(Markov 1890)。使うテクニックは望遠鏡和 integers.hatenablog.com のみです。非負整数に対して、をと定義します。このとき、なので、以上の整数に対してが得られます(望遠鏡和)。型の因数分解によりと変形できるので、 ー①が成り…

ζ(3)が無理数であることの積分を使った証明

1978年にApéryがが無理数であることを証明し、数学界に衝撃を与えました(俗にいうApéryショック)。Apéryが証明を発表した数か月後にはBeukersが積分を使った非常に美しい別証明を発表しています。この記事では、美しさは若干損ないますが、Millerによって…

ζ(3)をζ(0), ζ(2), ζ(4), ζ(6), …で表す公式

今回は整数ではなくRiemannゼータ値に関する一つの公式を紹介します。整数ではない数だって大好きです!integers.hatenablog.comで紹介したWilliamsの定理Williamsの定理 を以上の整数とする。このとき、が成り立つ。のように、Riemannゼータの偶数値は代数…