インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

τ(n)

Ramanujanのτ関数に関するLygeros-Rozierの定理

integers.hatenablog.comにおいて、が奇素数となるようなものをサーチしました。その際、「の乗法性から絶対値が素数になるようなをサーチするにはが素数冪のときだけを考えれば十分である。」と述べました。これは値だけをサーチしたい場合には正しい主張で…

親愛なる素数7758337633へ。あなたが好きです。

Ramanujanの関数に関する非常に難しい未解決問題を紹介します。integers.hatenablog.comに掲載した数値例をみると、 の4つは「がの倍数である」という著しい性質を持ちます。しかし、以降は全然同じ性質を満たす素数が出現しません*1。このような素数は非常…

Ramanujanのτ関数に対するLehmer予想と佐藤-Tate予想

Ramanujanのの数値例をintegers.hatenablog.comなどで見てきましたが、その数値は比較的大きくを取るは見当たりません。実は次の予想があります:Lehmer予想 任意の自然数に対してであろう。integers.hatenablog.com integers.hatenablog.comで紹介したにつ…

11:ラマヌジャンのΔと或る重さ2の保型形式の間の合同式

これまでRamanujanのとそれから定まる数列についてその性質をいくつか調べてきました。.今回は別の無限積を考えてみましょう:.によって数列を導入します。これは実は或る重さの保型形式のFourier級数展開になっています。素数に対するの値を少しだけ見てみ…

23:Ramanujanのτ関数の満たす合同式と23の不思議

と言えばマイケルジョーダン素数ですが、或いは円分体の類数を思い出す人も多いでしょう。5/13の記事において、素数に対するRamanujanの関数の値の素因数分解データを100個掲載しました: integers.hatenablog.comその素因数分解を眺めていると、という小さ…

|τ(n)|が素数となる数値例

Ramanujanの関数シリーズがしばらく続いています。integers.hatenablog.comで次の定理を紹介しました:定理 (Lehmer 1965)の絶対値が素数となるような最小のはであり、である。の乗法性から絶対値が素数になるようなをサーチするにはが素数冪のときだけを考…

数列τ(n)に関するRamanujanの予想

Ramanujanの見つけた魅力的な数列が乗法性が互いに素であれば、が満たすことを integers.hatenablog.comで紹介しました。実はこれに合わせて、素数と自然数に対してが成り立つことをRamanujanは1916年の論文で予想しました。これらは予想が提出されてから一…

691:ラマヌジャンの発見した驚くべき合同式

Ramanujanの発見した魅力的な数列に関する記事第二弾です! integers.hatenablog.com前回はからまでの値を眺めましたが、今回は素数に限定して100個眺めてみましょう!素数に対するの数値(最初の100個の素数) いかがでしょう。ちなみに、この数値例を私は…

Ramanujanの見つけた魅力的な数列

Ramanujanが1916年に発見した数列は今なお数学者を魅了し続ける大変美しい数列です。これは保型形式のFourier係数として定義されます。に対してとおくとき(は上半平面)、は無限積表示を持つため、逐一展開すれば原理的には手計算でもを計算できることが分…