インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

定理解説

ディリクレの近似定理

有理数と無理数を分かつもの。それは「近似の精度」である。Dirichletの近似定理 を実数とする。このとき、任意の自然数に対して整数が存在して、およびが成り立つ。証明. をと分ける。を考える。このとき、鳩ノ巣原理からが存在して、とは同じ小区間に属す…

ワイエルシュトラスの多項式近似定理

この記事では、Weierstrassの多項式近似定理の証明を解説します:定理 (Weierstrass, 1885) を区間上で定義された実数値連続関数とする()。このとき、任意のに対して多項式が存在して、が成り立つ。証明は何通りもありますが、Bernsteinによるものを解説しま…

(Z/nZ)*の群構造

この記事ではの群構造についてまとめています。 1.1 と素因数分解されているとき、中国剰余定理によってが成り立つので、を得る。すなわち、問題はのときに帰着される(は自然数)。 1.2 のとき、が成り立つ。証明. 奇数が存在して、と書けることを示せばよい…

約数個数関数の上からの評価

自然数の約数の個数をで表します。は次の公式で求めることができます:公式 とが素因数分解されているとき、が成り立つ。cf.) mathtrain.jp以前の記事でを用いた例としてサブライム数 - INTEGERSがあります。の上からの評価として、自明な評価がありますが、…

与えられた数の倍数となるような類数をもつ虚二次体の無限性について

前回の記事で虚二次体の類数に関する表を眺めました。integers.hatenablog.com表を見ていると自然に疑問に思うことですが、実は次が証明されています:定理1 与えられた数を類数にもつような虚二次体の個数は有限個である。一方、次は未解決問題だと思いま…

Bell数に関するSun-Zagierの定理

をBell数とします。Bell数に関する過去記事一覧: 52:ベル数 - INTEGERS Bell数の母関数表示と第二種Stirling数 - INTEGERS Bell数に関するHurst-Schultzの定理 - INTEGERS pCrはpの倍数 - INTEGERS Touchardの合同式 - INTEGERSZhi-Wei SunはBell数に関する…

Touchardの合同式

Bell数に関して最初に書いた記事integers.hatenablog.com で紹介した興味深い合同式であるTouchardの合同式Touchardの合同式 任意の非負整数と素数に対して、合同式が成立する。の証明をいつか紹介すると約束していました。この記事で、Hurst-Schultzによる…

pCrはpの倍数

高校生の皆さん! が素数で、 なる整数に対しては必ずの倍数になります!!え?そんなことは知ってるって??そんなあなたのために、今日は第二種Stirling数ヴァージョンの類似の性質を紹介しましょう。なお、以下では二項係数はいつも通りなる記号を用いる…

Bell数に関するHurst-Schultzの定理

をBell数とします。Bell数については52:ベル数 - INTEGERS Bell数の母関数表示と第二種Stirling数 - INTEGERSで記事にしましたが、書こうと思ってその後書き忘れていた部分を書こうと思います(四回分)。Bell数については次の二つの関係式が重要です: ‐① ‐②…

二回目のディリクレ関数

私と相互フォローして下さっている鰺坂もっちょさんという方がtwitterで「いまディリクレ関数のブログ書いてる」と呟いておられたので、「ああ、僕もそろそろDirichlet 関数についてブログ書かなきゃなあ~。これを機に記事を書くか!」と思っていたのですが…

四平方の定理に関する追加的内容について

Lagrangeの四平方の定理という有名な定理を以前取り上げました: integers.hatenablog.comどのような定理であったかをもう一度書いておきます:四平方の定理 任意の自然数は四つの平方数の和として表すことができる。ただし、も平方数に含める。いつみても美…

相異なるr個の素数の積で表されるような数の個数に関するラマヌジャンの不等式

半素数の記事でを導入しましたが、を以下の相異なる二つの素数の積として表せる数の個数とするとが成り立つため314:半素数 - INTEGERSで示した漸近公式よりが成り立つことが分かります。実はこれは次のように拡張されます:定理 (Landau) 、は正の整数とし…

Beukers-Hadjicostasの定理

Beukersがの無理性証明に用いた積分表示を一般化したものをHadjicostasが与えています。Beukersによる無理性証明を解説する前段階として、今回の記事ではBeukers-Hadjicostasの定理の証明を解説します。定理 (Beukers-Hadjicostas) は非負整数、はの最小公倍…

Ruizの恒等式とLerchの合同式

Ruizの恒等式 を非負整数、を任意の実数とする。このとき、が成り立つ。証明. に関する帰納法で証明する。とおく。である。であると仮定して、を示せばよい。より、は定数であることがわかる。従って、を得る。 Q.E.D.Ruizはこの恒等式を用いてWilsonの定理…

Caveney-Nicolas-Sondowの定理の証明

異常数およびCaveney-Nicolas-Sondowの定理の主張、証明の紹介

Riemann予想に関するLagariasの定理

Lagariasの定理の主張の紹介および証明

ゼータ関数の零点とリーマン予想

Riemannゼータ関数は においてはEuler積表示をもつため、その範囲では零点*1を持ちません: integers.hatenablog.comまた、階乗の記事 integers.hatenablog.com で言及したように、ガンマ関数は零点を一切持ちません。従ってintegers.hatenablog.com で定義…

リーマンゼータ関数の解析接続と関数等式

この記事では integers.hatenablog.com においてで定義されたRiemannゼータ関数を複素平面全体に有理型接続し、の満たす美しい関数等式の証明をRiemannの方法に従って紹介します。そのためにテータ関数の準備から始めましょう。integers.hatenablog.com を「…

Bell数の母関数表示と第二種Stirling数

前回の記事ではBell数について書きました: integers.hatenablog.comそこで紹介した、Bell数の母関数表示の証明を今回の記事で与えます。. 第二種Stirling数 個の元からなる集合の分割の個数がBell数でしたが、に対して、個の元からなる集合の個の部分集合へ…

非Wieferich素数の無限性とABC予想

非Wieferich素数に関するSilvermanの定理の証明

トーシェント関数に関する漸近評価

この記事は準備の記事です。, , をそれぞれMöbius関数、Eulerのトーシェント関数、Riemannゼータ関数とします:メビウス関数 - インテジャーズ オイラーのトーシェント関数とφ(R(n))=n - INTEGERS リーマンゼータ関数 - INTEGERS補題1 をを満たすような複素…

1の原始n乗根の一様分布性

定理(の原始乗根の一様分布性) を複素平面上の単位円周とし、弧を一つとって、その長さをとする。また、自然数に対しての原始乗根全体のなす集合をと記す。このとき、が成り立つ。はEulerのトーシェント関数:オイラーのトーシェント関数とφ(R(n))=n - INTEG…

指数持ち上げ補題

整数論の幾つかの定理の証明で活躍する指数持ち上げ補題の証明を解説します。

Oliver-Soundararajanのプレプリントについて

3/11にarXivに投稿されたプレプリントR. J. L. Oliver, K. Soundararajan, Unexpected biases in the distribution of consecutive primes, preprint.がFields賞受賞者であるTerence Taoのブログで取り上げられたり("very nice"と書いてある!)、natureで記…

数列lcm[1,2,…,n]のgrowthと素数定理

今回は二つの数列を紹介します(両数列とも数値例を最後の方に掲載しています)。一つ目は数列。自然数に対しての最小公倍数をと定義します: 二つ目はSylvester数列です。これは、、で定義される数列です。Sylvester数列については思い出深い話があるのですが…

素数定理の初等的証明(完結編)

この記事は非公開化されました。integers.hatenablog.com非公開前の内容要約: この記事は全四回にわたる『素数定理の初等的証明』の第四回目の記事です。

素数定理の初等的証明(R(x)の評価編)

この記事は非公開化されました。integers.hatenablog.com非公開前の内容要約: この記事は全四回にわたる『素数定理の初等的証明』の第三回目の記事です。

素数定理の初等的証明(Selbergの漸近公式編)

この記事は非公開化されました。integers.hatenablog.com非公開前の内容要約: 素数定理の初等的証明に関するSelbergの漸近公式の証明の解説。

素数定理の初等的証明(予告編)

この記事は非公開化されました。integers.hatenablog.com非公開前の内容要約: 素数定理の初等的証明に関する歴史の解説および証明の方針の解説。

素数に関する漸近公式

この記事は非公開化されました。integers.hatenablog.com非公開前の内容要約: 素数定理の初等的証明で必要となる6つの漸近公式を証明する。