インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

整数

ホーム素数

より大きい整数を素因数分解して、小さい素数順に繰り返し込みで十進法でくっつけるという操作を繰り返す遊びを考えます。例えば、の場合は という感じで、素数に到達すれば終了します(は素数)。任意のに対してこの操作が有限回で終了するかどうかは証明され…

来いよ二郎君積分

定理 (Broadhurst*1, 2001) 次の積分の等号が成り立ち(つまり左辺は整数), この整数は素数である。 参考ページ: https://primes.utm.edu/lists/single_primes/CP_Problem8_21.txt*2 *1:David Broadhurstは物理学者。このような型の積分は場の量子論に現れる…

もし1分以内に8を見つけられたら、あなたは天才!

Aさん 「を見つけた」 Bさん 「を見つけた」 Cさん 「これは素数だ」 Dさん 「これは各桁の総和が丁度万となるような最小の素数だ」

レスターの定理

じすがなぼ まずは歌いましょう。www.youtube.com参考記事: 三角形の五心の覚えておくべき性質を整理 | 高校数学の美しい物語 重心 三角形に対して、辺の中点をとする。辺, 辺についても同様に考えてを定義する。定理: 直線は一点で交わる。この一点を重心と…

ブニャコフスキー予想と41と1091

1857年にBunyakovskyによって提出された有名な予想があります。Bunyakovsky予想 次数が以上の整数係数多項式 に対して、集合が素数を無数に含むための必要十分条件は次の三条件を満たすことである: (I) の先頭項は正である. (II) はにおいて既約. (III) . 円…

四つ子非正則素数

tsujimotterさんが非正則素数チェッカーを公開されました。tsujimotter.info早速遊んでいたら四つ子非正則素数を発見したので報告致します。

65537

は「平方数+立方数」と四通りの方法で表すことのできる最小の素数。ただし、平方数・立方数はそれぞれ正整数の二乗・三乗を考える。

巨大合体ナンプレと社交数

2017年10月7, 8日に開催されたイベントMATH POWEでは来場者参加型耐久企画「巨大合体ナンプレに挑戦」がありました。こちらは、通常のナンプレを個合体させた「巨大合体ナンプレ」で、総ヒント数、総マス数でした。この巨大ナンプレのPDFを公式ホームページ…

18と長方形

は辺の長さが正整数で周長と面積がともにである正方形でない長方形が存在する唯一の整数です。これは三浦さんに教えてもらって知りました。証明は高校数学レベルです。

Eテレ『又吉直樹のヘウレーカ!』に出てきた商品のお値段

又吉直樹先生、千葉逸人先生、鈴木咲衣先生による数学に関する番組が昨日放映されました。私は23日から東京に滞在しており、昨日の深夜に帰ってきたため、今日の朝に録画を観させていただきました。ちなみに、23日の夜にとある飲み会で千葉先生とすれ違いに…

Ormistonペア

連続する素数のペアが各桁の数の入れ替えになっているようなものをOrmistonペアと言います。これは、Ormiston Collegeの教員であるAndy Edwardsによって名づけられたもので、最小のペアはであり()、次のペアはです()。ちなみに、最小のOrmistonトリプルはで(…

方程式3^a+5^b-7^c=1

定理 (Leitner, 2011) 方程式の非負整数解はまたはのみである。証明. まず、の場合を考える。であれば となり、が従う。のときもで。ならとなって、大きさを考えれば。よって、以下 と仮定してよい。さて、を満たすであって −①が成り立つようなものがしかな…

Smith-Honaker数

番目の素数がHonaker素数であるとは、を各桁の数の総和とすると、が成り立つときにいいます。最小のHonaker素数はで、実際、となっています。 Smith数であって、その素因数が全てHonaker素数であるようなものをSmith-Honaker数といいますが、最小のSmith-Hon…

スミス数いろいろ

幾つかのSmith数を鑑賞しましょう!Smith数についてはintegers.hatenablog.comをご覧ください。 からを一つずつ使った最小のSmith数。 からを一つずつ使った最大のSmith数。 Fibonacci数であるような最小のSmith数。 絶対擬素数であるような最小のSmith数。…

317130757から続く4つの素数

は番目の素数で、はの十進法表記における各桁の数の総和を表します。から連続する四つの素数は「一つ前の素数にその素数の各桁の数の総和を加えた値に等しい」という性質を持っています。

ペラン擬素数

といえばひっくり返して立方数となるような最小の素数という印象が強いかもしれませんが、が最小のPerrin擬素数であるという性質も記憶に値します。 Perrin数列 で定義される数列のことをPerrin数列と呼びます。この数列は次の面白い性質を満たします:定理 …

n^4+1型素数

はみんな素数です。

友愛数

約数の総和関数をで表すときに、正整数の組 が友愛数であるとはが成り立つときに言います。最小の友愛数はでintegers.hatenablog.comで紹介したことがありました。続く友愛数は のようになっています。友愛数が無数に存在するかどうかはわかっていないほか、…

p!/p#+1

素数 に対して、をで定義します。は素数階乗です。 知られている 型素数はだけです。 予想 が平方数となるのはだけであろう。この予想について、integers.hatenablog.comで扱った論法によって次が証明できます。定理 ABC予想に関する強い予想が正しければ、…

10000・・・00007770000・・・00001

以前、Belphegor素数を紹介しました。integers.hatenablog.comこれは不吉な素数でしたが、似たような形のラッキー*1な素数としてがあります。 *1:ラッキーセブン。

nとnの間にkをn個挟んで出来る素数

とに対して、「との間にを個挟んで出来る素数」はで以下のようなものがあります(十進法)。大きいものも知られていて、やは素数です。

ここに素数が21個あります

ここに素数が21個あります。 ここから二つの素数を選ぶ選び方は通りありますが、それぞれの平均をとることによって得られる210個の数は全て素数になっています。

(739, 937)

このブログで紹介している様々な数の性質を同時にたくさん満たす数を見つけるのも楽しいかもしれません。はエマープをなすペアであり、 right-truncatable good happy-go-lucky super emirp left-truncatable good happy-go-lucky star emirpとなっています…

超ハッピー超素数

素数番目の素数のことを超素数と言いましたが、すると他にも「超〜数」という概念はいくらでも作る事が出来て、例えばハッピー数番目のハッピー数は超ハッピー数と呼べます。さて、は番目の素数であり、番目のハッピー数でもあります。は素数で、はハッピー…

467のとある特徴について

番目の素数をとすると、です。番目の素数と番目の素数をくっつけて数を作るという操作を考えます。ですが、に操作を行うとと素数が得られます。に注意して、にもう一度同じ操作を施すと とまたもや素数となります!このように、連続で素数が得られる最小のも…

Brocard-Ramanujan方程式

方程式の正整数解はしか知られていません。1876年及び1885年にBrocardが、1913年にRamanujanがこの方程式を扱っています。Erdősはこれら以外に解は存在しないと予想しているそうです。定理 (Overholt, 1993) ABC予想が正しいと仮定する。このとき、Brocard-R…

13時28分から始まる地獄

いくらでも長い素数砂漠が存在します。これは素数密度零補題integers.hatenablog.comからわかりますし、を使った証明も有名です。数好きとしては、実際の素数砂漠も把握しておきたいところです。それまでの素数砂漠記録を塗り替える地点を幾つか紹介すると長…

105:この数の持つ或る性質

は「なる整数であって、と互いに素なものがを除いて全て素数である」という性質をもつ整数のうち、最大の数でした:30:この数の持つ或る性質 - INTEGERS少し緩めて「なる奇数であって、と互いに素なものがを除いて全て素数である」という整数に関する条件を…

立方数も暗記しよう

昔、平方数を幾つか暗記したことと思いますが、立法数は暗記されているでしょうか? 三乗数を並べて出来るいくつかの小さい素数 の三乗からの三乗までを大きいものから並べて出来る数:からまでの奇数の三乗を大きいものから並べて出来る数*1:からまでの素…

62540982と105161238

といえば、素数の三乗の差として二通りに表すことのできる最小の正整数です。一方、といえば、素数の三乗の和としても差としても表すことのできる最小の正整数です。