インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

整数

Ormistonペア

連続する素数のペアが各桁の数の入れ替えになっているようなものをOrmistonペアと言います。これは、Ormiston Collegeの教員であるAndy Edwardsによって名づけられたもので、最小のペアはであり()、次のペアはです()。ちなみに、最小のOrmistonトリプルはで(…

方程式3^a+5^b-7^c=1

定理 (Leitner, 2011) 方程式の非負整数解はまたはのみである。証明. まず、の場合を考える。であれば となり、が従う。のときもで。ならとなって、大きさを考えれば。よって、以下 と仮定してよい。さて、を満たすであって −①が成り立つようなものがしかな…

Smith-Honaker数

番目の素数がHonaker素数であるとは、を各桁の数の総和とすると、が成り立つときにいいます。最小のHonaker素数はで、実際、となっています。 Smith数であって、その素因数が全てHonaker素数であるようなものをSmith-Honaker数といいますが、最小のSmith-Hon…

スミス数いろいろ

幾つかのSmith数を鑑賞しましょう!Smith数についてはintegers.hatenablog.comをご覧ください。 からを一つずつ使った最小のSmith数。 からを一つずつ使った最大のSmith数。 Fibonacci数であるような最小のSmith数。 絶対擬素数であるような最小のSmith数。…

317130757から続く4つの素数

は番目の素数で、はの十進法表記における各桁の数の総和を表します。から連続する四つの素数は「一つ前の素数にその素数の各桁の数の総和を加えた値に等しい」という性質を持っています。

ペラン擬素数

といえばひっくり返して立方数となるような最小の素数という印象が強いかもしれませんが、が最小のPerrin擬素数であるという性質も記憶に値します。 Perrin数列 で定義される数列のことをPerrin数列と呼びます。この数列は次の面白い性質を満たします:定理 …

n^4+1型素数

はみんな素数です。

友愛数

約数の総和関数をで表すときに、正整数の組 が友愛数であるとはが成り立つときに言います。最小の友愛数はでintegers.hatenablog.comで紹介したことがありました。続く友愛数は のようになっています。友愛数が無数に存在するかどうかはわかっていないほか、…

p!/p#+1

素数 に対して、をで定義します。は素数階乗です。 知られている 型素数はだけです。 予想 が平方数となるのはだけであろう。この予想について、integers.hatenablog.comで扱った論法によって次が証明できます。定理 ABC予想に関する強い予想が正しければ、…

10000・・・00007770000・・・00001

以前、Belphegor素数を紹介しました。integers.hatenablog.comこれは不吉な素数でしたが、似たような形のラッキー*1な素数としてがあります。 *1:ラッキーセブン。

nとnの間にkをn個挟んで出来る素数

とに対して、「との間にを個挟んで出来る素数」はで以下のようなものがあります(十進法)。大きいものも知られていて、やは素数です。

ここに素数が21個あります

ここに素数が21個あります。 ここから二つの素数を選ぶ選び方は通りありますが、それぞれの平均をとることによって得られる210個の数は全て素数になっています。

(739, 937)

このブログで紹介している様々な数の性質を同時にたくさん満たす数を見つけるのも楽しいかもしれません。はエマープをなすペアであり、 right-truncatable good happy-go-lucky super emirp left-truncatable good happy-go-lucky star emirpとなっています…

超ハッピー超素数

素数番目の素数のことを超素数と言いましたが、すると他にも「超〜数」という概念はいくらでも作る事が出来て、例えばハッピー数番目のハッピー数は超ハッピー数と呼べます。さて、は番目の素数であり、番目のハッピー数でもあります。は素数で、はハッピー…

467のとある特徴について

番目の素数をとすると、です。番目の素数と番目の素数をくっつけて数を作るという操作を考えます。ですが、に操作を行うとと素数が得られます。に注意して、にもう一度同じ操作を施すと とまたもや素数となります!このように、連続で素数が得られる最小のも…

Brocard-Ramanujan方程式

方程式の正整数解はしか知られていません。1876年及び1885年にBrocardが、1913年にRamanujanがこの方程式を扱っています。Erdősはこれら以外に解は存在しないと予想しているそうです。定理 (Overholt, 1993) ABC予想が正しいと仮定する。このとき、Brocard-R…

13時28分から始まる地獄

いくらでも長い素数砂漠が存在します。これは素数密度零補題integers.hatenablog.comからわかりますし、を使った証明も有名です。数好きとしては、実際の素数砂漠も把握しておきたいところです。それまでの素数砂漠記録を塗り替える地点を幾つか紹介すると長…

105:この数の持つ或る性質

は「なる整数であって、と互いに素なものがを除いて全て素数である」という性質をもつ整数のうち、最大の数でした:30:この数の持つ或る性質 - INTEGERS少し緩めて「なる奇数であって、と互いに素なものがを除いて全て素数である」という整数に関する条件を…

立方数も暗記しよう

昔、平方数を幾つか暗記したことと思いますが、立法数は暗記されているでしょうか? 三乗数を並べて出来るいくつかの小さい素数 の三乗からの三乗までを大きいものから並べて出来る数:からまでの奇数の三乗を大きいものから並べて出来る数*1:からまでの素…

62540982と105161238

といえば、素数の三乗の差として二通りに表すことのできる最小の正整数です。一方、といえば、素数の三乗の和としても差としても表すことのできる最小の正整数です。

50006393431を二進法から九進法で表して十進法で読むと。。。

ここにある九つの数は全部素数ですが、となっています。

665067264

は「左から桁だけ読んだ数が番目の素数で割り切れるような最大の偶数」です。

1590231231043178376951698401:絶対擬素数

は個の素因数を持つような最小の絶対擬素数です。 素因数を全て足すとになります。integers.hatenablog.comで紹介したKorseltの判定法によって絶対擬素数になっていることを確認しておきましょう:は確かにで割り切れます。

サイクロプス数

素数の二乗はとからの並び替えになっていますが、実は真ん中だけがであるような数のことをサイクロプス数と呼びます。二乗するとサイクロプス数になるような最小の素数がです。素数はそれ自身がサイクロプス数ですが、と四乗までサイクロプス数となっていま…

5, 17, 29, 41, 53

は長さの素数等差数列ですが、くっつけて出来るも素数です。ついでにに関する蘊蓄を三つほど紹介します。① のそれぞれで挟んだ数が全て素数となるような最小の素数です。② の7乗はですが、各桁を足すととなります。③ に関する次のような予想があります。予想…

1531415939の素因数分解

「いちごサンキュー」と語呂合わせできる数 は合成数ですが、をで挟んだとをで挟んだは素数です。さて、の真ん中に円周率に現れる数字列(←素数)を挿入した整数を考えましょう。実はの素因数分解の二つの素因数はからの並べ替えになっています。

双子素数(19998989, 19998991)

双子素数はちょっぴり面白い性質を持っています。なんと、とがともにに対してから始まる(十進法表記における桁の左端)のです! ウヒョ〜〜〜〜〜〜

セブンイレブン

「セブンイレブン」のことを何回説明しても僕のおばあちゃんは「イレブンセブン」と言いますが、を7回、を11回書いた は素数です。似たような素数として、を11回、を5回書いた も素数です。

311の性質

は素数ですが、連続する素数の和として四通りに表すことのできる最小の数です。

1966640443

以下の素数達は、番目の素数 を十進法で書いたときに、番号がの数字列の端を幾つか切って出来る数となっているような素数です。特に、がの両端の数字を落としたものになっている素数はしか見つかっていません。