インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

整数-41

ブニャコフスキー予想と41と1091

1857年にBunyakovskyによって提出された有名な予想があります。Bunyakovsky予想 次数が以上の整数係数多項式 に対して、集合が素数を無数に含むための必要十分条件は次の三条件を満たすことである: (I) の先頭項は正である. (II) はにおいて既約. (III) . 円…

5, 17, 29, 41, 53

は長さの素数等差数列ですが、くっつけて出来るも素数です。ついでにに関する蘊蓄を三つほど紹介します。① のそれぞれで挟んだ数が全て素数となるような最小の素数です。② の7乗はですが、各桁を足すととなります。③ に関する次のような予想があります。予想…

「n以下の素数の個数」以下の素数の和がnに等しくなるような最大の自然数は100である

本日の数遊び 以下の素数は個あります: やは素数ではありませんのでご注意を。このとき、という数に着目して、以下の素数を足し合わせると となっています。 実は、はこのような性質を持つ最大の自然数なのです。本日は次の定理を証明することにいたしまし…

芸術家の作品

の三つ組はどの二つをとっても掛け合わせて引けば平方数となります*1: これを四つ組には延長できないことを証明させるのが1986年の国際数学オリンピック第一問です。証明. 自然数が存在して、が全て平方数になったと仮定する。法における平方剰余はであるこ…

良素数の無限性

は良素数*1。良素数のうち、まだ当ブログで一度も取り扱っていないものの中で最小の素数ということでを表題に取り上げました。25個ある以下の素数の丁度真ん中*2の素数と思うこともできます。定義 番目の素数をと表すことにする。このとき、が良素数(good pr…