インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

整数-5

方程式3^a+5^b-7^c=1

定理 (Leitner, 2011) 方程式の非負整数解はまたはのみである。証明. まず、の場合を考える。であれば となり、が従う。のときもで。ならとなって、大きさを考えれば。よって、以下 と仮定してよい。さて、を満たすであって −①が成り立つようなものがしかな…

5, 17, 29, 41, 53

は長さの素数等差数列ですが、くっつけて出来るも素数です。ついでにに関する蘊蓄を三つほど紹介します。① のそれぞれで挟んだ数が全て素数となるような最小の素数です。② の7乗はですが、各桁を足すととなります。③ に関する次のような予想があります。予想…

19:(素数の三乗) - (素数の三乗) と書ける唯一の素数

は素数 を用いて と書ける唯一の素数です。ところで、証明はとても簡単です。因数分解公式によれば でなければならないからです。同じことを一般的に考えることにすると、素数に対して が素数になるのはいつか?という問題となります。

1801241230056600523以下の素数の逆数和は4を超える

当ブログでも既に何通りもの証明を解説しているように、素数の逆数の和は発散しますが素数 までの素数の逆数和がそれぞれを始めて超えることが知られています。例えば、E. Bach, D. Klyve, J. P. Sorensonによって及びが得られています。16843:ウォルステン…

「n以下の素数の個数」以下の素数の和がnに等しくなるような最大の自然数は100である

本日の数遊び 以下の素数は個あります: やは素数ではありませんのでご注意を。このとき、という数に着目して、以下の素数を足し合わせると となっています。 実は、はこのような性質を持つ最大の自然数なのです。本日は次の定理を証明することにいたしまし…

ラマヌジャン映画『奇蹟がくれた数式』公開!!

ですから、を自然数の分割数としましょう。すなわち、を例えば非増加の順に自然数の和として分割するときの分割*1の総数がでした。より、が分かります。便宜的に、負の整数に対してとしておきましょう。の母関数はで与えられたことを思い出しておきます。Ram…

オイラーの五角数定理の証明

Eulerの五角数定理は非常に美しい定理です。収束半径はですが、形式的冪級数の等式と考えるのがよいでしょう。この定理は過去の記事で一度使ったことがあります: integers.hatenablog.comEulerの五角数定理より偉い定理であるJacobiの三重積というものがあ…

フォーチュン予想

エイプリルフールに出した問題 integers.hatenablog.com の問1:問1 素数を順番に掛け合わせて足した数をEuclid数という*1:これらは偶然全て素数であるがは素数でない。それでは、以上の考察を受けて 「素数を個順番に掛け合わせて足し合わせると素数とな…

アペリー数

非負整数に対してをと定義して、Apéry数と言います。 となっています。何はともあれ、素数を探すと(Apéry素数) が見つかります。たった今からは私のお気に入りの素数になりそうです。次に、Apéry数の数値を眺めていると「やたらの倍数が多いなあ」という印象…

親愛なる素数7758337633へ。あなたが好きです。

Ramanujanの関数に関する非常に難しい未解決問題を紹介します。integers.hatenablog.comに掲載した数値例をみると、 の四つは「がの倍数である」という著しい性質を持ちます。しかし、以降は全然同じ性質を満たす素数が出現しません*1。このような素数は非常…

78557:シェルピンスキー数

正の奇数がSierpinski数であるとは、が任意の自然数に対して合成数になるときに言います。は知られている最小のSierpinski数ですが、本当に最小であるかは未解決問題です。この記事ではSelfridgeの定理の証明を紹介します(未出版)。定理 (Selfridge 1962) …

31, 331, 3331, … Near-repdigit素数と階乗交代和

今日は3月31日。月、日、繋げて出来る数(, , )が全て素数になる貴重な日です。このような日は以下の記事で紹介しました: integers.hatenablog.comという素数をみると桁の素数Berphegor素数 integers.hatenablog.com を思い出しますが、, という並びをみると…

563:Wilson素数

は見つかっている最大のWilson素数です。知られているWilson素数はの三つのみです。Wilson素数はWilsonの定理を元にして得られる概念です:Wilsonの定理 を素数とすると、合同式が成り立つ。Wilsonの定理については2015の階乗を10の502乗で割った数の一の位…

芸術家の作品

の3つ組はどの2つをとっても掛け合わせて1引けば平方数となります*1: これを4つ組には延長できないことを証明させるのが1986年の国際数学オリンピック第一問です。証明. 自然数が存在して、が全て平方数になったと仮定する。法における平方剰余はである…

ハッピーエンド問題

次の定理のことをハッピーエンド問題と言います:定理 (ハッピーエンド問題) 平面上の一般の位置にあるような5点からなる任意の集合に対して、凸四角形をなすような4点からなる部分集合が必ず存在する。平面上の点の集合が一般の位置にあるとはどの3点をとっ…