インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

整数-6

全ハーシャッド数

といえば最小の完全数であるという事実が真っ先に思い浮かびますが、最大の全ハーシャッド数であるという性質も持っています。ハーシャッド数とは「各桁の数の総和が自分自身を割り切るような正整数」として定義され、integers.hatenablog.comにおいて「ハー…

基準完全数

を約数総和関数とするとき、が成り立つような正整数のことを完全数というのでした: integers.hatenablog.comをの正の約数とするとき、が基準約数であるとは、とが互いに素であることと定義します。例) なので、やはの基準約数ではないが、やはの基準約数で…

6より大きい任意の整数は相異なる素数の和として表すことができる

は相異なる素数の和としては表すことができません。一方、次の定理が成り立ちます:定理 (Richert, 1949) より大きい任意の整数は相異なる素数の有限個の和として表すことができる。証明. 素数は無数に存在するので、次の主張を示せば十分。で小さい方から数…

1/2+1/3+1/6=1 多重調和和の非整数性

実は、今月初めにパソコンが壊れてしまったため、ブログを二週間近く更新出来ませんでした。大変、申し訳ございません。新しいパソコンが届いたので更新を再開しようと思います。以前、調和数がの場合を除いて整数にはならないことを証明しました:16843:ウ…

素数サンドウィッチ完全数

両隣が共に素数であるような完全数のことを素数サンドウィッチ完全数(PSP)といいいます(私が勝手に名付けたので注意)。定理 PSPは しか存在しない。のみがPSPであるという事実は美しいですが、証明は拍子抜けするほど簡単です*1。ここでは、少しだけ強く、以…

バーゼル問題の高校数学範囲内で分かる証明

この記事では前半でバーゼル問題について記述し、後半では高校数学のみを使った証明を紹介します。 バーゼル問題解決への歴史*1 調和級数が発散することを以前の記事で示しました: integers.hatenablog.comでは、平方数の逆数和はどうなるでしょうか?実は、…