インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

整数

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は「平方数+立方数」と四通りの方法で表すことのできる最小の素数。ただし、平方数・立方数はそれぞれ正整数の二乗・三乗を考える。

巨大合体ナンプレと社交数

2017年10月7, 8日に開催されたイベントMATH POWEでは来場者参加型耐久企画「巨大合体ナンプレに挑戦」がありました。こちらは、通常のナンプレを個合体させた「巨大合体ナンプレ」で、総ヒント数、総マス数でした。この巨大ナンプレのPDFを公式ホームページ…

18と長方形

は辺の長さが正整数で周長と面積がともにである正方形でない長方形が存在する唯一の整数です。これは三浦さんに教えてもらって知りました。証明は高校数学レベルです。

Eテレ『又吉直樹のヘウレーカ!』に出てきた商品のお値段

又吉直樹先生、千葉逸人先生、鈴木咲衣先生による数学に関する番組が昨日放映されました。私は23日から東京に滞在しており、昨日の深夜に帰ってきたため、今日の朝に録画を観させていただきました。ちなみに、23日の夜にとある飲み会で千葉先生とすれ違いに…

Ormistonペア

連続する素数のペアが各桁の数の入れ替えになっているようなものをOrmistonペアと言います。これは、Ormiston Collegeの教員であるAndy Edwardsによって名づけられたもので、最小のペアはであり()、次のペアはです()。ちなみに、最小のOrmistonトリプルはで(…

方程式3^a+5^b-7^c=1

定理 (Leitner, 2011) 方程式の非負整数解はまたはのみである。証明. まず、の場合を考える。であれば となり、が従う。のときもで。ならとなって、大きさを考えれば。よって、以下 と仮定してよい。さて、を満たすであって −①が成り立つようなものがしかな…

Smith-Honaker数

番目の素数がHonaker素数であるとは、を各桁の数の総和とすると、が成り立つときにいいます。最小のHonaker素数はで、実際、となっています。 Smith数であって、その素因数が全てHonaker素数であるようなものをSmith-Honaker数といいますが、最小のSmith-Hon…

スミス数いろいろ

幾つかのSmith数を鑑賞しましょう!Smith数についてはintegers.hatenablog.comをご覧ください。 回文数でない最小のSmith数であるが、ひっくり返してもSmith数である*1。また、各桁の総和が素数となる最小のSmith数。 自分自身を除く正の約数の総和とそれ以…

317130757から続く4つの素数

は番目の素数で、はの十進法表記における各桁の数の総和を表します。から連続する四つの素数は「一つ前の素数にその素数の各桁の数の総和を加えた値に等しい」という性質を持っています。

ペラン擬素数

といえばひっくり返して立方数となるような最小の素数という印象が強いかもしれませんが、が最小のPerrin擬素数であるという性質も記憶に値します。 Perrin数列 で定義される数列のことをPerrin数列と呼びます。この数列は次の面白い性質を満たします:定理 …

n^4+1型素数

はみんな素数です。

友愛数

約数の総和関数をで表すときに、正整数の組 が友愛数であるとはが成り立つときに言います。最小の友愛数はでintegers.hatenablog.comで紹介したことがありました。続く友愛数は のようになっています。友愛数が無数に存在するかどうかはわかっていないほか、…

p!/p#+1

素数 に対して、をで定義します。は素数階乗です。 知られている 型素数はだけです。 予想 が平方数となるのはだけであろう。この予想について、integers.hatenablog.comで扱った論法によって次が証明できます。定理 ABC予想に関する強い予想が正しければ、…

10000・・・00007770000・・・00001

以前、Belphegor素数を紹介しました。integers.hatenablog.comこれは不吉な素数でしたが、似たような形のラッキー*1な素数としてがあります。 *1:ラッキーセブン。

nとnの間にkをn個挟んで出来る素数

とに対して、「との間にを個挟んで出来る素数」はで以下のようなものがあります(十進法)。大きいものも知られていて、やは素数です。

ここに素数が21個あります

ここに素数が21個あります。 ここから二つの素数を選ぶ選び方は通りありますが、それぞれの平均をとることによって得られる210個の数は全て素数になっています。

(739, 937)

このブログで紹介している様々な数の性質を同時にたくさん満たす数を見つけるのも楽しいかもしれません。はエマープをなすペアであり、 right-truncatable good happy-go-lucky super emirp left-truncatable good happy-go-lucky star emirpとなっています…

超ハッピー超素数

素数番目の素数のことを超素数と言いましたが、すると他にも「超〜数」という概念はいくらでも作る事が出来て、例えばハッピー数番目のハッピー数は超ハッピー数と呼べます。さて、は番目の素数であり、番目のハッピー数でもあります。は素数で、はハッピー…

467のとある特徴について

番目の素数をとすると、です。番目の素数と番目の素数をくっつけて数を作るという操作を考えます。ですが、に操作を行うとと素数が得られます。に注意して、にもう一度同じ操作を施すと とまたもや素数となります!このように、連続で素数が得られる最小のも…

Brocard-Ramanujan方程式

方程式の正整数解はしか知られていません。1876年及び1885年にBrocardが、1913年にRamanujanがこの方程式を扱っています。Erdősはこれら以外に解は存在しないと予想しているそうです。定理 (Overholt, 1993) ABC予想が正しいと仮定する。このとき、Brocard-R…

13時28分から始まる地獄

素数砂漠に関する記事。

105:この数の持つ或る性質

は「なる整数であって、と互いに素なものがを除いて全て素数である」という性質をもつ整数のうち、最大の数でした:30:この数の持つ或る性質 - INTEGERS少し緩めて「なる奇数であって、と互いに素なものがを除いて全て素数である」という整数に関する条件を…

立方数も暗記しよう

昔、平方数を幾つか暗記したことと思いますが、立法数は暗記されているでしょうか? 三乗数を並べて出来るいくつかの小さい素数 の三乗からの三乗までを大きいものから並べて出来る数:からまでの奇数の三乗を大きいものから並べて出来る数*1:からまでの素…

62540982と105161238

といえば、素数の三乗の差として二通りに表すことのできる最小の正整数です。一方、といえば、素数の三乗の和としても差としても表すことのできる最小の正整数です。

50006393431を二進法から九進法で表して十進法で読むと。。。

ここにある九つの数は全部素数ですが、となっています。

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は「左から桁だけ読んだ数が番目の素数で割り切れるような最大の偶数」です。

1590231231043178376951698401:絶対擬素数

は個の素因数を持つような最小の絶対擬素数です。 素因数を全て足すとになります。integers.hatenablog.comで紹介したKorseltの判定法によって絶対擬素数になっていることを確認しておきましょう:は確かにで割り切れます。

サイクロプス数

素数の二乗はとからの並び替えになっていますが、実は真ん中だけがであるような数のことをサイクロプス数と呼びます。二乗するとサイクロプス数になるような最小の素数がです。素数はそれ自身がサイクロプス数ですが、と四乗までサイクロプス数となっていま…

5, 17, 29, 41, 53

は長さの素数等差数列ですが、くっつけて出来るも素数です。ついでにに関する蘊蓄を三つほど紹介します。① のそれぞれで挟んだ数が全て素数となるような最小の素数です。② の7乗はですが、各桁を足すととなります。③ に関する次のような予想があります。予想…

1531415939の素因数分解

「いちごサンキュー」と語呂合わせできる数 は合成数ですが、をで挟んだとをで挟んだは素数です。さて、の真ん中に円周率に現れる数字列(←素数)を挿入した整数を考えましょう。実はの素因数分解の二つの素因数はからの並べ替えになっています。