は知られている最大のWieferich数です。Fermatの小定理より奇素数に対してが成り立ちますが、が成り立つようなのことをWieferich素数というのでした：1093, 3511：ヴィーフェリッヒ素数 - INTEGERS 1093と3511について - INTEGERSところで、Fermatの小定理を…

1089桁のやばい素数の紹介。

Millsの素数表現関数の論文が1947年に出て、それはInghamによる深い結果を用いるものでした：integers.hatenablog.comこれを受けて、Inghamの結果を使う代わりに、よりお手軽なBertrandの仮説を使うだけでも同じようなことができるよとWrightが1951年に報告…

本日の数遊び 以下の素数は個あります： やは素数ではありませんのでご注意を。このとき、という数に着目して、以下の素数を足し合わせると となっています。 実は、はこのような性質を持つ最大の自然数なのです。本日は次の定理を証明することにいたしまし…

さて、であるが*1、は素数である。 *1:メルセンヌ数 - INTEGERS

から続く八つの素数は全てエマープです。つまり、次の八つは素数です。 は1万以下の素数の個数です。はとがくっついていますが、です(12番目の素数が)。 一方、はとがくっついていますが、です(21番目の素数が)。がエマープではないわけですが*1、連続する素…

オンライン整数列大辞典A227249とA053768とA053769を紹介します。数列(A227249)は「最初の個の合成数の総和が冪乗数となる正整数のうち番目のもの」と定義されます。 のようになっています。 数列(A053768)は「最初の個の合成数の総和が平方数となる正整数の…

オイラーの論文 L. Euler, Utrum hic numerus 1000009 sit primus necne inquiritur, Nova acta academiae scientiarum Petropolitanae 10 (1797), 63–73. で証明されている次の定理の証明を解説します： 定理 (オイラー) 1000009は素数ではない。

は素数ですが、の分割をこれ以上、１つの数式では読み込まないようなので仕切り直し。と書き下したときに現れる+の個数がですね。

#85は素数番目の素数と素数番目の素数との積でありながら合成数番目の合成数でない最小の自然数 #みらいけん数学デー pic.twitter.com/WtPKtNVdwX— 鯵坂もっちょ (@motcho_tw) 2017年4月11日 だぶん【駄文】くだらない文章。は番目の合成数であり、であるが…

Sophie Germainの仕事を紹介しました：integers.hatenablog.com integers.hatenablog.comこの仕事に関連してが素数になるような素数のことをSophie Germain素数と呼ぶようになったわけですが、integers.hatenablog.comでも紹介したように、Sophie Germain素…

Fermatの最終定理に関するSophie Germainの定理とその証明を解説します。前回の記事でSophie Germainによるグランドプランが失敗に終わったことを紹介しました：integers.hatenablog.comしかし、彼女は転んでもただでは起きません。奇素数を固定します。グラ…

Sophie Germainは1776年4月1日にパリで生まれた女性数学者です。彼女のよく知られた仕事はFermatの最終定理(FLT)への貢献です。彼女がFLTへ挑戦した時点ではの場合しか証明されていませんでした。なお、FLT()を証明したのはEulerでFLT()を証明したのはFermat…

観ました。私には映画レビューを書けるような才能がないので、参考になるレビューを貼っておきます：(リンク切れしました)ミュージカルは音楽が良くなければ全てが台無しになると思うのですが、個人的にラ・ラ・ランドの音楽はとても気に入りました。あと、…

van der Waerdenの定理integers.hatenablog.comにおけるの取り得る最小の値をvan der Waerden数といい、と表します。はすぐに分かります。それ以外に確定しているのはのみです(このうちは素数)。一般的な上界についてはGowers(フィールズメダリスト)によるも…

街中で突然怖い人に「今すぐ57個素数を教えないと殺す。一桁や二桁の小さいものは駄目だ。」と言われたとしましょう。要求される個数が24個であればを覚えていれば十分でした*1。しかし、今回の怖い人はグロタンディーク素数*2が好きなのか、要求してくる素…

はを並び替えてできる素数の一つですが、がに近いという事実は覚える価値があります:Ramanujanは と書けることに着目して次のような作図を提唱しています： は円の直径. は弧の中点. はをに内分する点. . . はに平行. はに平行. で. このとき、Ramanujan曰く…

以前紹介したShanksの恒等式integers.hatenablog.comはWilliam G. Spohn, Jr. によって次のように拡張できることが指摘されています:のとき、のときがShanksの恒等式になっています。他には、例えばよりが得られますし、よりが得られます。 、と言えばピンと…

を約数総和関数とするとき、が成り立つような正整数のことを完全数というのでした： integers.hatenablog.comをの正の約数とするとき、が基準約数であるとは、とが互いに素であることと定義します。例） なので、やはの基準約数ではないが、やはの基準約数で…

今日は1月15日番目のエマーパイムスはです。もエマーパイムスです。イチゴを食べたくなってきました。今、スターバックスでチョコラティ バナナ ココ フラペチーノを飲んでいますが。 エマーパイムス エマーパイムスとは何か。それは、"emirpimes"をさっき私…

高校数学の美しい物語さんの記事mathtrain.jpを初めて見たとき、一つだけ知らない定理がありました。それがZsigmondyの定理です：Zsigmondyの定理 を互いに素な自然数とし、を以上の整数とする。このとき、およびかつがの冪であるという例外ケースを除いて、…

は素数ですが、昨夜面白い性質があることに気づきました。 の場合 にをかけます。 この数に一番近い整数は素数です。このような性質をもつ以下の素数(に一番近い整数が素数となるような素数)は です 。このような幸運な年は私が生まれてからだと年が初めてで…

せきゅーんによる素数大富豪考案の回顧録。

以下のサイトに発見されている巨大素数のトップ10が掲載されています：https://primes.utm.edu/largest.html第１位のは今年の1月に発見が宣言されたもので記事にしました：integers.hatenablog.com実は先日新しい巨大素数が発見されたらしいのです！第７位を…

最小の非正則素数について短い記事を書こうと思います。関-ベルヌーイ数については関-ベルヌーイ数 - INTEGERSを参照して下さい。番目の関-Bernoulli数を既約分数表示した際の分子をで表し、若干の数値例()を上記記事に掲載しました。の素因数分解において、…

療養中であったせきゅーんの見舞いに行く途中、先生が乗ったタクシーのナンバーが6058655748であった。先生が「その数はどうでもいい退屈な数字であった。凶兆でなければよいが」というと、せきゅーんは即座に「そんなことはありません…

番目の素数はです*1。"今宵"と語呂合わせできますね。integers.hatenablog.comで紹介したように、と最初の個の素数を足すととなって、これまた素数となります*2。 最初の個の素数を並べるととなりますが、ここに現れる個のアラビア数字を全部足してみましょ…

Ramanujanは幾つかの数学の問題を"the Journal of the Indian Mathematical Society"に出題しています*1。実は以前書いた記事integers.hatenablog.comの数式は全てRamanujanの問題から抜粋したものです。Ramanujanの問題はこちらの"Questions"をクリックする…

Ramanujanの奇蹟の素数が5, 7, 11に限ることの証明の概略の解説記事。

ハッピー・ゴー・ラッキー数とは、ハッピー数かつラッキー数であるような自然数のことを言います。integers.hatenablog.comintegers.hatenablog.com ハッピー・ゴー・ラッキー数最初の100個 10000番目のハッピー・ゴー・ラッキー数を僕は「串行こーよ、な！…