インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

関−Bernoulli数

三木の恒等式をリーマンゼータ値の関係式に書き直す

は以上の整数とします。関-Bernoulli数に関するEuler-Ramanujanの恒等式をEulerの公式を使ってRiemannゼータ関数の偶数値の関係式であるWilliamsの公式に書き換えることができました(リーマンゼータ関数 - INTEGERS)。同様にして、三木の恒等式をEulerの公式…

三木の恒等式のジョンソンの手法による証明

関-Bernoulli数に関するJohnsonの手法を解説しました:integers.hatenablog.com上記記事ではJohnsonの基本進関係式Johnsonの基本進関係式 を正整数とし、修正関-Bernoulli数をと定義する。このとき、次の進関係式が成立する。から関-Bernoulli数に関する種々…

関-ベルヌーイ数に関するジョンソンの手法

関-Bernoulli数に関する整数性やを法とした合同式などを統一的に導出するJohnsonの手法を紹介します。関-Bernoulli数についてはintegers.hatenablog.comを参照してください。は素数です。Johnsonの主張は、関-Bernoulli数に関するいくつかの古典的定理達は以…

三木の恒等式のGesselによる証明

三木の恒等式 を以上の整数とする。このとき、次の恒等式が成立する:.ただし、であり、は第調和数である。integers.hatenablog.com 第二種Stirling数の母関数表示 Gesselの証明では第二種Stirling数を用います。第二種Stirling数についてはBell数の母関数表…

三木の恒等式

関–Bernoulli数に関するexotic identity、三木の恒等式を紹介します。 鑑賞 関–Bernoulli数についてはintegers.hatenablog.comを参照してください。この記事で紹介したように、関–Bernoulli数は漸化式を満たします。もう少し、非自明なものとしてはEulerやRa…

すむーずぷりんちゃんさんの問題について

問題 (すむーずぷりんちゃん) を以上の整数とし、とおく。このとき、の多項式として次の整除関係が成り立つことを示せ:偶数,奇数.【証明求む】Σ k^m の計算をしていたら、画像のような法則性を見つけました。数学の腕に自信がある方、証明して(または反例を…

関-ベルヌーイ数の第二種Stirling数を用いた公式

関-Bernoulli数は第二種Stirling数を用いて表すことができます。関-Bernoulli数については関-ベルヌーイ数 - INTEGERSを、第二種Stirling数についてはBell数の母関数表示と第二種Stirling数 - INTEGERSを参照してください。関-Bernoulli数は一つ目の記事で紹…

37でたくさん割れる関-ベルヌーイ数

最小の非正則素数について短い記事を書こうと思います。関-ベルヌーイ数については関-ベルヌーイ数 - INTEGERSを参照して下さい。番目の関-Bernoulli数を既約分数表示した際の分子をで表し、若干の数値例()を上記記事に掲載しました。の素因数分解において、…

リーマンゼータ関数の級数表示による解析接続

リーマンゼータの解析接続には様々な証明が知られています。このブログでも、Riemann自身による二つの証明のうち、テータ関数を使う方を紹介しました: integers.hatenablog.comRiemannのもう一つの証明はコンタワー積分を使うもので、どちらも関数等式も同…

78:関-Bernoulli数の分母にならない6の倍数であるような無平方数のうち最小の数

関-Bernoulli数の分母をとすると、 が成り立つのでした(積はがを割り切るような素数全体を渡る)。これは、von-Staudt-Clausenの定理の系で、関-ベルヌーイ数 - INTEGERSで証明しました。任意の偶数はを約数に持ち、はともに素数であることから、全てのは…

5407:関-Bernoulli数の分子を分母で割った余り

は番目の素数。この記事ではが現れる数列を一つ紹介します。オンライン整数列大辞典に載っている数列です:A180315 - OEIS を関-Bernoulli数とします:関-ベルヌーイ数 - INTEGERSの既約分数としての分子を、分母をとします()。このとき、数列をで定めます。…

正則素数に関するSiegel予想と非正則指数

はに最も近い整数。なお、正則素数である。 Siegelの予想 正則素数の無限性は未解決ですが、素数全体における割合が、すなわち約61%であると予想されています(Siegelの予想)。 tsujimotter氏の記事 tsujimotter.hatenablog.com において Wikipedia の情報に…

ジェノッキ素数が17しか存在しないことの証明

は唯一のGenocchi素数です。当記事内容を数学セミナー2017年7月号に寄稿いたしました。 Genocchi数 定義 Genocchi数を次の母関数の展開係数として定義する:.この定義からはは有理数として定義されますが、実は常に整数です。まず、 から が分かります。. 数…

非正則素数

は最小の非正則素数です。までの非正則素数はの三つです。定義 ある自然数に対するの分子に現れる素数のことを非正則素数という。また、そうでないような素数のことを正則素数という。ここで、は関-Bernoulli数です: integers.hatenablog.com 上の記事の言葉…

リーマンゼータ関数

はRiemannゼータ値 に現れる素数です。 Riemannゼータ関数とEuler積表示 Riemannゼータ関数はEulerの研究を経て、1859年のRiemannによる記念碑的論文において定義された複素関数です。数学において最も重要な関数の一つです。最近では見たり、触ったり、食べ…

関-ベルヌーイ数

は12番目の関-Bernoulli数の分子に現れる素数。 定義 定義 に対して、有理数を次の母関数の展開係数として定義する:を第関-Bernoulli数と呼ぶ。実はこの定義はおそらく少数派です。多数派の定義は次の定義'です:定義' に対して、有理数を次の母関数の展開係…