インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

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「n以下の素数の個数」以下の素数の和がnに等しくなるような最大の自然数は100である

本日の数遊び 以下の素数は個あります: やは素数ではありませんのでご注意を。このとき、という数に着目して、以下の素数を足し合わせると となっています。 実は、はこのような性質を持つ最大の自然数なのです。本日は次の定理を証明することにいたしまし…

ラマヌジャン映画『奇蹟がくれた数式』公開!!

ですから、を自然数の分割数としましょう。すなわち、を例えば非増加の順に自然数の和として分割するときの分割*1の総数がでした。より、が分かります。便宜的に、負の整数に対してとしておきましょう。の母関数はで与えられたことを思い出しておきます。Ram…

オイラーの五角数定理の証明

Eulerの五角数定理は非常に美しい定理です。収束半径はですが、形式的冪級数の等式と考えるのがよいでしょう。この定理は過去の記事で一度使ったことがあります: integers.hatenablog.comEulerの五角数定理より偉い定理であるJacobiの三重積というものがあ…

フォーチュン予想

3 5 7 13 17 19 23 37

エイプリルフールに出した問題 integers.hatenablog.com の問1:問1 素数を順番に掛け合わせて足した数をEuclid数という*1:これらは偶然全て素数であるがは素数でない。それでは、以上の考察を受けて 「素数を個順番に掛け合わせて足し合わせると素数とな…

親愛なる素数7758337633へ。あなたが好きです。

Ramanujanの関数に関する非常に難しい未解決問題を紹介します。integers.hatenablog.comに掲載した数値例をみると、 の4つは「がの倍数である」という著しい性質を持ちます。しかし、以降は全然同じ性質を満たす素数が出現しません*1。このような素数は非常…

78557:シェルピンスキー数

正の奇数がSierpinski数であるとは、が任意の自然数に対して合成数になるときに言います。は知られている最小のSierpinski数ですが、本当に最小であるかは未解決問題です。この記事ではSelfridgeの定理の証明を紹介します(未出版)。定理 (Selfridge 1962) …

31, 331, 3331, … Near-repdigit素数と階乗交代和

今日は3月31日。月、日、繋げて出来る数(, , )が全て素数になる貴重な日です。このような日は以下の記事で紹介しました: integers.hatenablog.comという素数をみると桁の素数Berphegor素数 integers.hatenablog.com を思い出しますが、, という並びをみると…

563:Wilson素数

5 13 563

は見つかっている最大のWilson素数です。知られているWilson素数はの3つのみです。Wilson素数はWilsonの定理を元にして得られる概念です:Wilsonの定理 を素数とすると、合同式が成り立つ。Wilsonの定理については integers.hatenablog.com で証明を紹介し…

芸術家の作品

2 5 13 41 61

の3つ組はどの2つをとっても掛け合わせて1引けば平方数となります*1: これを4つ組には延長できないことを証明させるのが1986年の国際数学オリンピック第一問です。証明. 自然数が存在して、が全て平方数になったと仮定する。法における平方剰余はである…

5:ハッピーエンド問題

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次の定理のことをハッピーエンド問題と言います:定理 (ハッピーエンド問題) 平面上の一般の位置にあるような5点からなる任意の集合に対して、凸四角形をなすような4点からなる部分集合が必ず存在する。平面上の点の集合が一般の位置にあるとはどの3点をとっ…