インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

ABC予想

Q&ABC (おまけ)

せきゅーん: やあ、久しぶり。 ラムネ: この間、ABC予想から非ヴィーフェリッヒ素数の無限性を導出するシルヴァーマンとは別の方法があると言っていたよね。今日はそれを教えて欲しい。 せきゅーん: 了解。その方法は「Mollin-Walsh予想」と関係している。予…

Q&ABC (その8)

せきゅーん: 今日の話を聴いて生じた疑問があったんだっけ? ラムネ: の関数に対してが全ての or 有限個の例外を除くABCトリプル対して成立するようなを追求しているものと考える。このとき、が駄目ってのが話の出発点で、StwertとTijdemanの最初の定理によ…

Q&ABC (その7)

せきゅーん: 存在性が好きだから、ABC予想もいくらでも説明のしようがありそうなもんだけど、無理矢理「お助け素因数」の「存在性」として語ってみたりもした。ところで、ABC予想の応用で私が好きなものに「非ヴィーフェリッヒ素数の無限性」がある。ヴィー…

Q&ABC (その6)

せきゅーん: 予想が出たら数学者は皆それを証明しようと挑戦するんだ。それですぐに証明されてしまって「やっぱりそこまで凄くはなかった」と判明する場合もあるだろうし、普通のありふれた定理の1つになる場合もあるだろうし、「得られた証明によって凄さが…

Q&ABC (その5)

せきゅーん: この議論を「乗」の場合に応用してみよう。すると、ABC予想の「深み」が見えて来る。まず、ABC予想に現れる不等式はと同値である。ところで、のときは が成り立つから、が成り立つようなABCトリプルが有限個と言っても同じことだ。以下、しばら…

Q&ABC (その4)

せきゅーん: 例えば、が平方無縁(square-free)な場合は必ずが成り立つ。以下の平方無縁な正整数全体のなす集合をで表せばだ。証明が気になればここを見ればいい。 ラムネ: でも、それは自明な場合だし、でよりちょっと大きいぐらいで、%近くは非自明な場合が…

Q&ABC (その3)

せきゅーん: 以下、は小さい数を固定して、はに応じて十分に大きい整数とする。証明の肝は3つあって、素数分布の情報・体積による評価のアイデア・鳩の巣原理だ。まずは素数分布の情報として次の公式を用いる: を最初の個の奇素数とするとき,が成り立つ。こ…

Q&ABC (その2)

せきゅーん: 指数持ち上げ補題 - INTEGERSを使えば似たようなやつはいくらでも構成できるんじゃない?えーっと、を奇素数として互いに素な正整数の組 を および を満たすように取るでしょ。それでという分解を考えてみよう。指数持ち上げ補題によってだから…

Q&ABC (その1)

ABC予想とは、任意にをとったときに、ABCトリプルと呼ばれる正整数の3つ組、つまり、とが互いに素であり、の関係にあるようなもの*1であって、不等式 が有限個の例外を除いて成立するというものであった。 この記事では架空の人物達が・が小さくならないとい…