インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

Ramanujan

ラマヌジャンの√(πe/2)に関する凄い公式

Ramanujan 証明(by Omran). とする。とすると、なので、は微分方程式を満たす。なので、なる表示が得られた。をと定義すれば、Gauss積分によりなので、である。従って、の連分数展開を与えればよい。についての多項式をで定義すると、の階微分は −①で与えら…

ラマヌジャンによる円周率近似の作図②

はを並び替えてできる素数の一つですが、がに近いという事実は覚える価値があります:Ramanujanは と書けることに着目して次のような作図を提唱しています: は円の直径。 は弧の中点。 はをに内分する点。 。 。 はに平行。 はに平行。 で。 このとき、Raman…

Shanksの恒等式の拡張と円周率近似の作図

以前紹介したShanksの恒等式integers.hatenablog.comはWilliam G. Spohn, Jr. によって次のように拡張できることが指摘されています:のとき、のときがShanksの恒等式になっています。他には、例えばよりが得られますし、よりが得られます。 、と言えばピンと…

ラマヌジャンが出した問題

Ramanujanは幾つかの数学の問題を"the Journal of the Indian Mathematical Society"に出題しています*1。実は以前書いた記事integers.hatenablog.comの数式は全てRamanujanの問題から抜粋したものです。Ramanujanの問題はこちらの"Questions"をクリックする…

ラマヌジャンの初等的恒等式観賞会

ラマヌジャン映画『奇蹟がくれた数式』公開!!

ですから、を自然数の分割数としましょう。すなわち、を例えば非増加の順に自然数の和として分割するときの分割*1の総数がでした。より、が分かります。便宜的に、負の整数に対してとしておきましょう。の母関数はで与えられたことを思い出しておきます。Ram…

数列τ(n)に関するRamanujanの予想

Ramanujanの見つけた魅力的な数列が乗法性が互いに素であれば、が満たすことをRamanujanの見つけた魅力的な数列 - INTEGERSで紹介しました。実はこれに合わせて、素数と自然数に対してが成り立つことをRamanujanは1916年の論文で予想しました。これらは予想…

691:ラマヌジャンの発見した驚くべき合同式

Ramanujanの発見した魅力的な数列に関する記事第二弾です! integers.hatenablog.com前回はからまでの値を眺めましたが、今回は素数に限定して100個眺めてみましょう!素数に対するの数値(最初の100個の素数) いかがでしょう。ちなみに、この数値例を私は…

Ramanujanの見つけた魅力的な数列

Ramanujanが1916年に発見した数列は今なお数学者を魅了し続ける大変美しい数列です。これは保型形式のFourier係数として定義されます。に対してとおくとき(は上半平面)、は無限積表示を持つため、逐一展開すれば原理的には手計算でもを計算できることが分か…

相異なるr個の素数の積で表されるような数の個数に関するラマヌジャンの不等式

半素数の記事でを導入しましたが、を以下の相異なる二つの素数の積として表せる数の個数とするとが成り立つため314:半素数 - INTEGERSで示した漸近公式よりが成り立つことが分かります。実はこれは次のように拡張されます:定理 (Landau) 、は正の整数とし…

π:Never Ending Number~ラマヌジャンのMysteriousな公式~

今日は3月14日。そう、円周率の日です*1。というわけで、今日は整数ではなく、円周率のお話をしましょう。 ラマヌジャン(Ramanujan)のMysteriousな公式 百年に一度の円周率の日から一年 証明の解説 が無理数であることの証明 ラマヌジャン(Ramanujan)のMyste…

1729:ラマヌジャンのタクシー数とラマヌジャン素数

は二つの(正の)三乗数の和として二通りに書ける最小の自然数です*1:これはRamanujanに関する次のような有名なエピソードからRamanujanのタクシー数などと呼ばれています: 療養中であったRamanujanの見舞いに行く途中、Hardyが乗ったタクシーのナンバーが…