インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

5, 7, 17, 19

相異なる4つの素数であって、どの3つを取っても和が素数となるようなもののうち、4つの素数の総和が最小となるようなものがです*1。 四つ子素数だとが最小のものです。 六つ子素数で同様の性質を満たす最小のものはでとなっています。www.alpertron.com.a…

ハイパーグラフ除去補題ー2

この記事からハイパーグラフ除去補題を証明していく。ハイパーグラフ系を固定する。単に期待値を書いたら上の期待値とする。Terence Taoによる証明の方針はintegers.hatenablog.comと非常に似ている。そこでも扱ったように、上の加法族と に対して条件付き期…

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という素数のちょっとした性質を紹介します。次の素数はですが、その間の整数の素因数分解の重複を込めた素因数の個数は全て奇数になっています。

ハイパーグラフ除去補題ー1

この記事から複数記事用いて「ハイパーグラフ除去補題」の証明を行います。参考文献 T. Tao, A variant of the hypergraph removal lemma, J. Combin. Theory Ser. A 113 (2006), 1257–1280. T. Tao, The Gaussian primes contain arbitrarily shaped conste…

29179の各桁の総和は29179の二乗の各桁の総和に等しい

の各桁の数の総和はですが、の各桁の数の総和もとなっています。このような正整数は(の冪のような自明な例を除いても)無数に存在します。定理 (Hare-Laishram-Stoll) とする。進法において、の各桁の総和との各桁の総和が一致するようなの倍数ではない正整数…

大学入試数学〜素数〜

京大2018前期理系問2 京大2018前期文系問3 名大2018前期理系問3 岐阜大2018前期問1 横浜市大2018前期I(1), III(1) 大阪市大2018前期文系問1 東北大2018後期文系問4 早稲田2018[基幹理工、創造理工、先進理工学部]III 京大2017前期文系問2 金沢大2017前期文系…

2^77232917-1:最大の素数更新、発見された完全数の数が50に!

2018年1月3日付で人類が発見した最大の素数の記録が更新されたことが発表されました。GIMPSによって2017年12月26日に発見されたその素数(桁)はでMersenne素数です。これで知られているMersenne素数の個数は個となり、偶数の完全数もで個を数えることとなりま…

マイク・キースの小数

を小数展開すると*1、を挟みながら個の素数が並びます。 赤は素数で青は合成数です。ネタばらしをするとということです。 *1:

メルテンス関数

Mertens関数はで定義されます。ここで、はMöbius関数です: メビウス関数 - INTEGERS 数値例 の次にMertens関数の値がをとるのはです。など。 Riemann予想 Riemann予想は任意のに対してが成り立つことと同値です。Mertens関数に関するこの評価からRiemann予想…

アドベントカレンダーのまとめ

思いつきでインテジャーズのアドベントカレンダーを実施しました*1。寄稿していただいた皆様、どうもありがとうございました。無事25記事全て埋まりました!!簡単に記事達を分類して振り返りましょう! 猫系 アドベントカレンダーと猫の写真 - INTEGERSINTE…

松本旅行記

これは素数大富豪Advent Calendarの23日目の記事です。22日目の記事はruia_nicoさんのruiap.hateblo.jpでした。本日2017年12月23日は新型スーパーあずさE353系の出発式が開催されました。ももも素数です!さて、昨年の素数大富豪Adbent Calendarでは結構気合…

MATHPOWER杯2017での戦い5選

これは素数大富豪Advent Calendarの21日目の記事です。20日目の記事はnasuyaさんのyasuna.cocolog-nifty.comでした。MATHPOWER2017*1で開催された「素数大富豪MATHPOWER杯2017*2」から独断と偏見で5つの試合を選び、その素数譜を記録して眺めようという記事…

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は素数ですが、数字を一つだけに書き換えた数を考えてみましょう。もうお気付きの通り、これらは全て素数です。

セメレディの定理の組合せ論的証明ー11

この記事でSzemerédiの定理の組合せ論的証明を完成させる。 帰納的ステップの証明 とし、は或るに対してを含むがを含まないと仮定する。が成り立つと仮定する。以下、とし、が成り立つことを示す。 パラメータの選択 を任意にとって、をを満たすようにとる。…

24の満たすある方程式

を番目の素数とし、をEulerのトーシェント関数とします。このとき、を満たすを調べましょう。探すと、が見つかります。より大きいを見つけることができるでしょうか?ちなみに、はも満たすことがわかります()。

セメレディの定理の組合せ論的証明ー10

定理 (帰納的ステップ) とし、は或るに対してを含むがは含まないと仮定する*1。このとき、が成り立つならばが成り立つ。帰納的ステップ Szemerédiの定理の証明. とすると写像は全単射である(二進展開)。とすると、或るに対してを含むがは含まない。よって、…

ヴィーフェリッヒ・グレブナー・進撃の巨人

たまにはブログっぽいことを書いてみようと思います。ブログなので。 ABC予想について 12月16日の朝日新聞の一面にABC予想に関する記事が載りました。昨日は幾つかTwitterの方で呟いたりしたのですが、分からないことがたくさんあるので今はまだ静観すべきと…

ブラックジャック素数

ブラックジャックは手札の点数の合計をに下から近づけることを目標とするトランプゲームです。であるような連続する素数のペアのことをブラックジャック素数とよぶことがあります。の間にある整数の数が個であることにちなんだ名称です。最小のブラックジャ…

セメレディの定理の組合せ論的証明ー9

一般のSzemerédiの定理を証明する。として、次の主張を考える。主張1 (). 任意のに対して或るが存在して次が成り立つ: なるをとる。をを満たす集合とし、その塗り分け写像を考える(は有限集合)。このとき、或るおよび-APの族()が存在して以下の(i)〜(iv)が…

セメレディの定理の組合せ論的証明ー8

Rothの定理の証明. をを満たすような集合とする。示したいことは、が-APを少なくとも一つは含むことである。とすると、である。密度昇格定理によって非有界かつ二重カウンティング性質を満たすようなが存在し、のに沿った密度が存在してが成り立つ。なる正整…

約数個数関数のラマヌジャンによる評価

この記事は日曜数学 Advent Calendar 2017 - Adventarの14日目の記事です。9日目はasangi_a4acさんによるitonayuta60.hateblo.jpでした。クリスマスが待ち遠しいですね。Advent Calendarの日程も半分を超えていますが、クリスマスまでもう少しの辛抱です。今…

セメレディの定理の組合せ論的証明ー7

以上の道具立てに基づくRothの定理(Szemerédiの定理のの場合)の証明を実行する。Szemerédiの定理の証明に論理的には必要のない部分であるが、プロトタイプとして一度練習できる*1。また、後のSzemerédiの定理の証明と比較して、特殊な議論によるショートカッ…

セメレディの定理の組合せ論的証明ー6

定理 (混合補題) を非有界で二重カウンティング性質を満たすものとし、はに沿った密度をもち、であるとする。任意のに対してが存在し、と任意の整数に対してが存在して、なるをとり、-長方形であって任意のに対してなるものをとるとき、次が成立する: (i) (…

セメレディの定理の組合せ論的証明ー5

密度昇格定理 は非有界かつ二重カウンティング性質を満たすと仮定する。のに沿った上密度がであるとき、非有界かつ二重カウンティング性質を満たすであって、のに沿った密度が存在し、が成り立つようなものが存在する。証明. を十分遅くとなるようなとのみに…

フィボナッチ数34

Fibonacci数 について、その性質を少し紹介したいと思います。integers.hatenablog.comで私の好きな素数は全ての桁がFibonacci数であり、各桁の総和=もFibonacci数だという話をしましたが、には他にも・は以下の素数の個数であり、ももFibonacci数。が成り立…

孙智伟による素数表現関数

この記事は日曜数学 Advent Calendar 2017 - Adventarの10日目の記事です。9日目はru_sackさんによるhttp://stagnationpoint-y.tumblr.com/post/168336222377/prime-knot-912-150mm-150mm-鉛筆-アクリル絵具-ケント紙-交点数9stagnationpoint-y.tumblr.comで…

セメレディの定理の組合せ論的証明ー4

-AP に対して、一様確率測度をに対してと定義する。に対して、が-長方形であるとは、を用いてと表されるもののことをいう。に付随する写像をで定義する。-長方形に対して、各毎に-AP をで定義し、各毎に-AP をで定義する。また、一様確率測度をに対してと定…

セメレディの定理の組合せ論的証明ー3

弱正則化補題の証明. を主張の通りにとる。またはが空集合のときは自明に成立するので、ともに空集合ではないと仮定する。正整数を用いてとなっているときに証明すれば十分である(とすれば、全単射があるため)。行列の特異値分解を考えることによって、正整…

セメレディの定理の組合せ論的証明ー2

弱正則化補題 (Frieze, Kannan) を有限集合とし、およびをとる。このとき、, 毎に, 分割が存在して、任意のに対してが成り立つ。これは次の記事で証明する。ここでは、後で使う系を導出する。系 を有限集合とし、および毎にをとる。このとき、, 毎に, 分割が…

セメレディの定理の組合せ論的証明ー1

Szemerédiの定理の証明は既に当ブログで解説済みです:integers.hatenablog.comしかしながら、Szemerédiの定理の証明は異なる分野の数学を用いて複数得られており、その中でも組合せ論的議論により証明したSzemerédiによるオリジナル証明に興味がありました…