2016-08-30

8/24に投稿されたRosenのプレプリントでApéry数に関する次の美しい超合同式*1が示されています：

定理 (Rosen) $7$ 以上の素数 $p$ に対して*2

$\displaystyle u_{p-1} \equiv \frac{2}{\binom{2p}{p}} \pmod{p^5}$

が成立する。ここで、 $u_n$ はApéry数を表す。

Apéry数については
integers.hatenablog.com
を参照してください。

1980年出版の論文でChowla-Cowles-Cowlesは $p \geq 5$ に対して

$\displaystyle u_{p-1} \equiv 1 \pmod{p^3}$

を示しており、今回のRosenの超合同式はCCCの一般化となっています。

この記事に証明を書きますが、どちらかというと自分用で、self-containedには書かれていません。

若干の数値例

$p=5$

$\displaystyle \binom{10}{5}u_4 -2 = 252\times 33001 -2 = 8316250 = 5^4 \times 13306$

$p=7$

$\displaystyle \binom{14}{7}u_6-2 = 3432\times 21460825-2 =73653551398=7^5 \times 4382314$

$p=11$

$\begin{align} \binom{22}{11}u_{10} -2&= 705432\times 13657436403073-2 \\ &= 9634392676692592534 \\ &= 11^5\times 59821998476834\end{align}$

$p=13$

$\begin{align} \binom{26}{13}u_{12} -2&=10400600\times 12073365010564729-2\\ &=125570240128879520437398\\ &=13^5\times 338197165389273486\end{align}$

$p=17$

$\begin{align} \binom{34}{17}u_{16} -2&=2333606220\times 10534522198396293262825 -2 \\ &= 24583426526905663983072514771498 \\ &= 17^5\times 17314015796594772560245514\end{align}$

$p=19$

$\begin{align} \binom{38}{19}u_{18} -2&=35345263800\times 10217699252454924737153425-2\\ &=361147275507082112443833467698514998 \\ &= 19^5\times 145853326344012138627669357202\end{align}$

$p=23$

$\begin{align} \binom{46}{23}u_{22} -2&=8233430727600\times 10112862370204493589226059105073-2\\ &= 83263551782831444213131047338361795241114798\\ &= 23^5\times 12936469013977571458378002436843685186\end{align}$

$p=29$

$\begin{align} \binom{58}{29}u_{28} -2&=30067266499541040\\ &\ \ \ \ \times 10868197045847822233854339973569898723225-2\\ &=326776976947031121833761445674479313414946173744488653998 \\ &= 29^5\times 15931675838688077485749893663903436780403973163302\end{align}$

$p=31$

$\begin{align} \binom{62}{31}u_{30} -2=&\ 465428353255261088 \\ &\times 11320115195385966907843180411829810312080825 -2\\=& \ 526870257404834869828950873418785629515815983372659593343\\ &\ 7598 \\ = &\ 31^5\times 1840327914037111578436087306322096766040376060654608\\ &\ 98\end{align}$

$p=37$

$\begin{align} \binom{74}{37}u_{36} -2=&\ 1746130564335626209832\\ &\times 13264933862314086588526333019005254963413604768312625-2 \\ =&\ 231623064508772538358489516257776246577233648056281272165\\ &\ 43708822824728998\\ = &\ 37^5\times 3340205470373900617735003444608392431041015557509665\\ &\ 50935991564814\end{align}$

$p=41$

$\begin{align} \binom{82}{41}u_{40} -2=&\ 424784580848791721628840\\ &\times 15100268525919986925572504996818177040381209593531087707\\ &\ \ \ \ \ 425-2\\ = &\ 6414361236487123678958219465315020675271389213467069645769\\ &\ 973749483299422362136998\\ =&\ 41^5\times 55364850401810807510926579280076865935483153063745544\\ &\ 753102803271473569398\end{align}$

$p=43$

$\begin{align} \binom{86}{43}u_{42} -2=&\ 6637553085023755473070800\\ &\times 16204012637643564134944174573318170906068938798508028723\\ &\ \ \ \ \ 732025-2\\ =&\ 1075549940727549602401465068080831830204729238338725921643\\ &\ 92406035611334012763052369998\\ = &\ 43^5\times 73162460521233437075547087324830168441735638159144772\\ &\ 4974492832602895699077386\end{align}$

$p=47$

$\begin{align} \binom{94}{47}u_{46} -2=&\ 1625701140345170250548615520\\ &\times 18842868840510684130726174724393234844121893058638825682\\ &\ \ \ \ \ 059447790225-2\\ =&\ 3063287336139269513223522453358762014547326613787534183559\\ &\ 9001244471673308866309426597139291998 \\ = &\ 47^5\times 13356677680535986175724865261002878578243155796225963\\ &\ 5482707505572474369624564398851714\end{align}$

有限調和和とWolstenholmeの定理

自然数 $N, k_1, \dots, k_r$ に対して、有限調和和 $H_N(k_1, \dots, k_r) \in \mathbb{Q}$ を

$\displaystyle H_N(k_1, \dots, k_r) := \sum_{N \geq k_1 > \cdots > k_r \geq 1}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_r^{k_r}}$

と定義します。 $H_N(1)=H_N$ は調和数です。

$5$ 以上の素数 $p$ に対して成り立つ合同式

$H_{p-1}(1) \equiv 0 \pmod{p^2}$ ー①

をWolstenholmeの定理といい、16843：ウォルステンホルム素数、調和数、調和級数、オイラーの定数 - INTEGERSで証明しました(しばらく $p \geq 5$ )。

証明では

$\displaystyle H_{p-1}(2) \equiv 0 \pmod{p}$ ー②

を用いたことを思い出しておきます。

文献によっては

$\displaystyle \binom{2p}{p} \equiv 2 \pmod{p^3}$ ー③

や、少し変形した

$\displaystyle \binom{2p-1}{p-1} \equiv 1 \pmod{p^3}$

のことをWolstenholmeの定理と呼んでいますが、これらは実質的に同値です。

補題１ 自然数 $p$ に対して*3

$\displaystyle \binom{2p}{p} = 2\sum_{n=0}^{p-1}p^nH_{p-1}(\underbrace{1, \dots, 1}_{n})$

が成り立つ。

証明. 次のように計算できる：

$\begin{align}\binom{2p}{p} &= 2\cdot \frac{(p+1)(p+2)\cdots (p+(p-1))}{1\cdot 2\cdots p-1} = 2\left( 1+\frac{p}{1} \right) \left( 1+\frac{p}{2} \right) \cdots \left( 1+\frac{p}{p-1} \right) \\ &= 2\sum_{n=0}^{p-1}p^nH_{p-1}(\underbrace{1, \dots, 1}_{n}).\end{align}$

Q.E.D.

また、 $p\geq 5$ とします。補題１より、

$\displaystyle \binom{2p}{p} \equiv 2(1+pH_{p-1}(1)+p^2H_{p-1}(1, 1)) \pmod{p^3}$

が成り立ちます。

$\displaystyle H_N(1)^2=2H_N(1, 1)+H_N(2)$

より、

$H_{p-1}(2) \equiv 0 \pmod{p} \Longleftrightarrow H_{p-1}(1, 1) \equiv 0 \pmod{p}$

なので、③は①＋②と同値であることがわかりました(実際は $p \geq 5$ で全て成立している)。

よって、Rosenの超合同式は確かにCCCの超合同式の一般化を与えていることがわかりました。

Wolstenholmeの定理の一般化と思える次の命題は有名事実です：

命題 $m, k$ は自然数、 $p$ は $p > mk+1$ を満たす素数とする。このとき、

$\displaystyle H_{p-1}(\underbrace{k, \dots, k}_m) \equiv 0 \pmod{p}$

が成り立つ。更に、 $mk$ が奇数ならば、 $p > mk+2$ を満たす素数 $p$ に対して

$\displaystyle H_{p-1}(\underbrace{k, \dots, k}_m) \equiv 0 \pmod{p^2}$

が成り立つ。

証明

補題２ $n$ を $2$ 以上の整数とする。このとき、

$\displaystyle u_{n-1} = 1+\sum_{k=1}^{n-1}\left( \frac{n^4}{k^4}-2\frac{n^3}{k^3}+\frac{n^2}{k^2}\right) \left( \sum_{i=0}^{k-1}(-1)^in^{2i}H_{k-1}(\underbrace{2, \dots, 2}_{i})\right)^2$

が成り立つ。

証明.

$\begin{align}u_{n-1} &= \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}^2\binom{n+k-1}{k}^2 \\ &= 1+\sum_{k=1}^{n-1}\left( \frac{n-k}{k} \right)^2 \left\{ \left( 1-\frac{n}{1} \right) \cdots \left( 1-\frac{n}{k-1} \right) \right\}^2 \times \frac{n^2}{k^2} \left\{ \left( 1+\frac{n}{1} \right) \cdots \left( 1+\frac{n}{k-1} \right)\right\}^2 \\ &= 1+\sum_{k=1}^{n-1}\left( \frac{n-k}{k} \right)^2 \frac{n^2}{k^2} \left\{ \left( 1-\frac{n^2}{1^2} \right) \cdots \left( 1-\frac{n^2}{(k-1)^2}\right) \right\}^2 \\ &= 1+\sum_{k=1}^{n-1}\left( \frac{n^4}{k^4}-2\frac{n^3}{k^3}+\frac{n^2}{k^2}\right) \left( \sum_{i=0}^{k-1}(-1)^in^{2i}H_{k-1}(\underbrace{2, \dots, 2}_{i})\right)^2.\end{align}$

Q.E.D.

あとは補題２に $n=p$ を代入して補題１と掛け合わせれば手でも計算機でも計算できると書いていますが、実際にやってみましょう( $p$ は素数)。

補題２より

$\begin{align} u_{p-1} &= 1+\sum_{k=1}^{p-1}\left( \frac{p^4}{k^4}-2\frac{p^3}{k^3}+\frac{p^2}{k^2} \right) \left( \sum_{i=0}^{k-1}(-1)^ip^{2i}H_{k-1}(\underbrace{2, \dots, 2}_{i})\right)^2 \\ &\equiv 1+\sum_{k=1}^{p-1}\left( \frac{p^4}{k^4}-2\frac{p^3}{k^3}+\frac{p^2}{k^2} \right)(1-p^2H_{k-1}(2))^2 \\ &\equiv 1+\sum_{k=1}^{p-1}\left( \frac{p^4}{k^4}-2\frac{p^3}{k^3}+\frac{p^2}{k^2} \right)(1-2p^2H_{k-1}(2)) \\ &\equiv 1+\sum_{k=1}^{p-1}\left( \frac{p^4}{k^4}-2\frac{p^3}{k^3}+\frac{p^2}{k^2}-2\frac{p^4}{k^2}H_{k-1}(2)\right) \\ &\equiv 1+p^4H_{p-1}(4)-2p^3H_{p-1}(3)+p^2H_{p-1}(2)-2p^4H_{p-1}(2, 2)\pmod{p^5}\end{align}$

が得られます。よって、 $p \geq 7$ ならば命題より

$u_{p-1} \equiv 1+p^2H_{p-1}(2) \pmod{p^5}$

が成り立つことがわかります。一方、補題１および命題より

$\begin{align} \binom{2p}{p} &\equiv 2(1+pH_{p-1}(1)+p^2H_{p-1}(1, 1)+p^3H_{p-1}(1, 1, 1)+p^4H_{p-1}(1, 1, 1, 1)) \\ &\equiv 2(1+pH_{p-1}(1)+p^2H_{p-1}(1, 1)) \pmod{p^5}\end{align}$

が $p \geq 7$ で成立します。従って(以下ずっと $p \geq 7$ )、

$\begin{align}\frac{1}{2}\binom{2p}{p}u_{p-1} &\equiv 1+pH_{p-1}(1, 1)+p^2H_{p-1}(2)+p^2H_{p-1}(1, 1)+p^3H_{p-1}(1)H_{p-1}(2) \\ & \ \ \ \ \ + p^4H_{p-1}(1, 1)H_{p-1}(2) \\ &\equiv 1+pH_{p-1}(1)+p^2(H_{p-1}(2)+H_{p-1}(1, 1)) \pmod{p^5}.\end{align}$