整数の比の値として表せないような実数のことを無理数と言います。Pythagoras学派はが無理数であることを証明しました。
Pythagorasは『無理数の存在を否定するがあまり、無理数について口外した仲間を溺死させたことさえあるとされる』らしいです(Wikipediaより)。
この記事ではPythgoras学派の偉業を大幅に一般化して、の場合にもが無理数であることを証明します!
1995年にAndrew WilesによってFermatの最終定理が解決されました:
Fermatの最終定理
が以上の整数ならば-①は自然数解をもたない*1。
が以上の整数ならば-①は自然数解をもたない*1。
これを利用すればよいのです。
が無理数であることの証明
とする。もし、が有理数、すなわち整数の比の値で表せるならば、ある自然数が存在してと書き表せる。
このとき、両辺を乗することにより、, ,
を得る。これは①が自然数解をもつこととなり、Fermatの最終定理に矛盾する。 Q.E.D.
こうして、我々は無数に無理数を手にすることが出来たのです*2。