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数、特に整数に関する記事。

29:セクシー素数

29

差が6であるような素数のペアのことをセクシー素数といいます。29は唯一のセクシー5つ組を構成する素数の中で最大のものです。

名前の由来

6はラテン語でsexであることが由来ということです。謎すぎるネーミングですね。

セクシー素数の例

(5,11) (7,13) (11,17) (13,19) (17,23) (23,29)
(31,37) (37,43) (41,47) (47,53) (53,59) (61,67)
(67,73) (73,79) (83,89) (97,103) (101,107) (103,109)
(107,113) (131,137) (151,157) (157,163) (167,173) (173,179)
(191,197) (193,199) (223,229) (227,233) (233,239) (251,257)
(257,263) (263,269) (271,277) (277,283) (307,313) (311,317)
(331,337) (347,353) (353,359) (367,373) (373,379) (383,389)
(433,439) (443,449) (457,463) (461,467) (503,509) (541,547)
(557,563) (563,569) (571,577) (587,593) (593,599) (601,607)
(607,613) (613,619) (641,647) (647,653) (653,659) (677,683)
(727,733) (733,739) (751,757) (821,827) (823,829) (853,859)
(857,863) (877,883) (881,887) (941,947) (947,953) (971,977)
(977,983) (991,997)

セクシー3つ組

(p, p+6, p+12)が全て素数であるとき、セクシー3つ組といいます。セクシー3つ組の例をあげます:

(7,13,19) (17,23,29) (31,37,43) (47,53,59)
(67,73,79) (97,103,109) (101,107,113) (151,157,163)
(167,173,179) (227,233,239) (257,263,269) (271,277,283)
(347,353,359) (367,373,379) (557,563,569) (587,593,599)
(607,613,619) (647,653,659) (727,733,739) (941,947,953)
(971,977,983)

セクシー4つ組

定義は推して知るべし。

(5,11,17,23) (11,17,23,29) (41,47,53,59)
(61,67,73,79) (251,257,263,269) (601,607,613,619)
(641,647,653,659)

セクシー5つ組

(5,11,17,23,29)一組しか存在しない(1つは必ず5の倍数となるため)。

知られている最大のセクシー素数

2009年時点において知られている最大のセクシー素数(p, p+6)

\displaystyle {\scriptsize p = \frac{(117924851 \times 587502 \times 9001\# \times (587502 \times 9001\# + 1) + 210) \times (587502 \times 9001\# − 1)}{35} + 5}

です(11593桁)。素数階乗については
integers.hatenablog.com
を参照してください。

予想

未解決問題 セクシー素数は無数に存在するであろう。

Polymath8bプロジェクトによって2014年には次が証明されています:

定理 Generalized Elliott-Halberstam Conjecture(GEH)と呼ばれる予想
を仮定すると、ふたご素数、いとこ素数、セクシー素数のいずれかは無数に存在する。

GEHの紹介は省略します。ふたご素数、いとこ素数については別の記事で紹介します。