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数、特に整数に関する記事。

4:異常数

4

4は知られている唯一の異常数です。

定義 2以上の整数nに対して、G(n)\displaystyle G(n):=\frac{\sigma (n)}{n\log \log n}と定義する。

\sigma (n)は約数の総和関数です:
integers.hatenablog.com

定義 自然数N異常数であるとは、Nが合成数であり、なおかつ以下の二条件を満たすときに言う:

  1. Nの任意の素因数pに対して、G(N) \geq G(N/p)が成り立つ。
  2. Nの任意の倍数Mに対して、G(N) \geq G(M)が成り立つ。

4は異常数であることが証明されています。実は、次のような予想があります:

予想 異常数は4しか存在しない。

この予想を解決した者は100万ドルの懸賞金を得ることができます。というのも、次の定理が証明されているからです:

定理 (Caveney-Nicolas-Sondow) 上記予想はRiemann予想と同値である。

Riemann予想については
integers.hatenablog.com
を参照してください。

証明は道具が揃ってから紹介することにします*1*2。この定理から分かることは

  • Riemann予想は実は「約数、素因数、倍数、自然対数」の概念のみで語ることができる。
  • 4という整数は異常数という特別な性質をもっている。

ということです。というわけで、この形にすればRiemann予想が解きやすいということはない気がしますが、当ブログで紹介するには丁度いい内容でした。

*1:当ブログは過去の記事で証明したことを使っていくというスタンスで出来る限り書いています。例外もありますが。

*2:書きました: integers.hatenablog.com