インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

36:平方三角数

36は2番目の平方三角数である。

三角数

\displaystyle T_n := \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}のことを三角数と言います。これはT_n個の小石を三角形状に並べることができるからです。
このうち、平方数にもなっているようなものを平方三角数と言います。三角形にも正方形にも並べられる数です:

f:id:integers:20160101190607j:plain

平方三角数のうち、小さいものをいくつかみてみましょう:
T_1=1, T_8=36, T_{49}=1225, T_{288}=41616, T_{1681}=1413721, T_{9800}=48024900,
T_{57121}=1631432881, T_{332928}=55420693056, T_{1940449}=1882672131025,
T_{11309768}=63955431761796, T_{65918161}=2172602007770041,
T_{384199200}=73804512832419600, T_{2239277041}=2507180834294496361,
T_{13051463048}=85170343853180456676, T_{76069501249}=2893284510173841030625,…

一般項

平方三角数の一般項が1778年にEulerによって決定されています。この記事では線型漸化式で公式を与えることにします:
N_kk番目の平方三角数とするとき、\{N_k\}

N_{n+2}=34N_{n+1}-N_n+2, \ N_0=0, \ N_1=1

で定まる数列である。
また、

a_{n+2}=6a_{n+1}-a_n+2, \ a_0=0, \ a_1=1

および

b_{n+2}=6b_{n+1}-b_n, \ b_0=0, \ b_1=1

で定まる数列をそれぞれ\{a_k\}, \ \{b_k\}とすると、

T_{a_k}=b_k^2=N_k

が成り立つ。

Pell方程式

T_n=m^2 \Longleftrightarrow (2n+1)^2-8m^2=1であるため、Pell方程式X^2-8Y^2=1の一般項を求めることによって平方三角数の一般項が求まることがわかります。Pell方程式の一般解の求め方はまた機会があれば別の記事で紹介したいと思います。
ちなみに、Pell方程式という名称は、Pell方程式を解いたのはBrounckerであるにも関わらず、Pellが解いたと勘違いしたEulerによる命名です。ここにもStiglerの法則が見られます:
integers.hatenablog.com