インテジャーズ

インテジャーズ

数、特に整数に関する記事。

367986315421273233617:最大左切り取り可能素数大富豪素数

本日紹介した左切り取り可能素数についての補足です。

integers.hatenablog.com

最大の左切り取り可能素数である357686312646216567629137が素数大富豪素数ではないことがtsujimotter氏によって指摘されました。

twitter.com

というのも、左切り取り可能素数は素数大富豪にマッチした素数なのです!

素数大富豪および素数大富豪素数については
integers.hatenablog.com
をご覧になってください。

素数大富豪では山札からカードを引きながら出来るだけ大きい素数を作りたいという欲求があります。このとき、左切り取り可能素数(明日紹介する右切り取り可能素数でもよい)を目指して手札作りをすれば、敵の残り手札の枚数を見ながら、適切なタイミングでそれ以上大きい素数を作ることを断念し、途中で出すことが可能になります(切っても素数になることのご利益)。でかい素数を作ることに専念しすぎて勝機を逸する確率を減らせるというわけです。

しかしながら、ジョーカーを2枚もっていたとしても、4から9のいずれかが7つ以上必要な数は素数大富豪では作ることはできません。というわけで、最大の左切り取り可能素数であって素数大富豪素数であるようなものを見つけましょう!

左切り取り可能素数を大きいものからa_1, a_2, \dotsと表すことにすると、ベスト15は次のようになっています:

a_1=357686312646216567629137
a_2=96686312646216567629137
a_3=95918918997653319693967
a_4=57686312646216567629137
a_5=9918918997653319693967
a_6=7686312646216567629137
a_7=6686312646216567629137
a_8=5918918997653319693967
a_9=918918997653319693967
a_{10}=686312646216567629137
a_{11}=666276812967623946997
a_{12}=\color{red}{367986315421273233617}
a_{13}=\color{red}{315396334245663786197}
a_{14}=\color{red}{86312646216567629137}
a_{15}=\color{red}{67986315421273233617}

このうち、赤字で書いた数は素数大富豪素数です。つまり、367986315421273233617が最大左切り取り可能素数大富豪素数であることが分かりました。是非、実戦で作ってみてください!

f:id:integers:20160113123153j:plain

ちなみに、t=3, 7に対して\mathrm{LT}_{d, t}^{(10)}:=\{ p \in \mathrm{LT}_d^{(10)} \mid p \equiv t \pmod{10}\}とするとき、例えば\#\mathrm{LT}_{8, 3}^{(10)}=275, \#\mathrm{LT}_{8, 7}^{(10)}=222となっています。このように桁数の小さいところを見ていると3からスタートする系列の方が勢力が強いイメージがありますが、上記の大きい左切り取り可能素数が7からスタートするもの達であることは意外であり、素数分布が一様ではないことが反映されていることがわかります。