インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

2^74207281-1:最大の素数が更新された!?

2^74207281-1

2016年1月7日*1に新しいMersenne素数

M_{74207281}=2^{74207281}-1

が発見されたとアメリカ人数学者Curtis Niles Cooper率いるGIMPS(Great Internet Mersenne Search)が宣言したようです:
www.mersenne.org

これは22338618桁(2千万桁越え!!比較のために思い出すと、1億は8桁で1無量大数が68桁)の数であり、2013年1月25日に発見されたMersenne素数

M_{57885161}=2^{57885161}-1(17425170桁)

の記録を塗り替えて、
人類が発見した最大の素数ということになります。

Mersenne素数としては計49個発見されたことになります*2

また、Mersenne素数と偶数の完全数は1対1に対応するので人類が手にした完全数の個数も49個ということになります。私が完全数を初めて知った頃はまだ43個程しかしられてなかったにも関わらず、もう50個の大台に乗ろうとしています。

Mersenne素数は無数に存在すると期待されています:

Lenstra–Pomerance–Wagstaff予想
x以下のMersenne素数の個数はx \to \inftyにおいて
\displaystyle \frac{e^{\gamma}\log \log n}{\log 2}
に漸近する。ここで、\gammaはEulerの定数。

2千万桁を超えても50個に満たないものが無数にあると予想することは大変にロマンチックですが、こうして着実に新しいMersenne素数が発見されているのは嬉しい限りです*3

*1:コンピュータ上では2015年9月17日に発見されていたそうです。それを人間が気づいたのが1月7日とのこと。

*2:M_{74207281}が49番"目"であるかは証明されていません。44番目まではそれ以外にないことが確定しているそうです。

*3:コンピュータによる発見作業であるため、本当に正しいかを自分で確かめることは(本気で参入しない限り)中々難しいです。コンピュータのミス、あるいは全世界を欺く壮大な研究不正が行われている可能性を否定することは現時点では(少なくとも私には)出来ないわけです。というわけで安全のためにタイトルには「!?」を入れておきました。