インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

ζ(3)をζ(0), ζ(2), ζ(4), ζ(6), …で表す公式

今回は整数ではなくRiemannゼータ値に関する一つの公式を紹介します。整数ではない数だって大好きです!

integers.hatenablog.com

で紹介したWilliamsの定理

Williamsの定理 n2以上の整数とする。このとき、
\displaystyle \zeta (2n)=\frac{2}{2n+1}\sum_{k=1}^{n-1}\zeta (2k)\zeta (2n-2k)
が成り立つ。

のように、Riemannゼータの偶数値は代数関係を満たします。

一方、Riemannゼータの奇数値は他のRiemannゼータ値とは代数関係を満たさないと予想されています。

しかしながら、無数のRiemannゼータの偶数値を用いることによって奇数値を表現するような公式は存在します。今回は次の有名な公式の証明の概略を解説します*1

定理 \ \ \  \displaystyle \zeta (3) = -\frac{4\pi^2}{7}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\zeta (2n)}{(2n+1)(2n+2)2^{2n}} が成り立つ。

\zeta (3)\zeta (0), \zeta (2), \zeta (4), \zeta(6), \dotsで書ける」というのは中々美しい結果であると感じます。まずは、積分表示を与えます。

補題 (Euler) \ \ \ \displaystyle I:= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\log \sin x dx = -\frac{\pi}{2}\log 2.

証明. 変数変換x\mapsto \pi -xおよびx \mapsto \pi /2-xによって

\displaystyle I=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\log \sin xdx,

\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log \cos x dx

が得られる。特に、

\displaystyle 2I=\int_0^{\pi}\log \sin xdx

であるが、x\mapsto 2xとすることによって、

\begin{equation}\begin{split}I&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log \sin 2x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\log (2\sin x \cos x)dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\log 2 dx+\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log \sin x dx +\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log \cos x dx\end{split}\end{equation}

となるので、

\displaystyle I= \frac{\pi}{2}\log 2 + 2I

が得られた。 Q.E.D.

命題 (Euler) \ \ \ \displaystyle \zeta (3) = \frac{2\pi^2}{7}\log 2 + \frac{16}{7}\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\log \sin x dx.

証明. 0 < x < \piのとき、

| 1 - e^{2xi} | = \sqrt{(1-\cos 2x)^2+(-\sin 2x)^2}=2\sin x

なので、

\begin{equation}\begin{split}\log (2\sin x) &= \log (|1-e^{2xi}|) = \mathrm{Re}( \log (1-e^{2xi})) \\ &= \mathrm{Re}\left( -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{2nxi}}{n} \right) =-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos (2nx)}{n}\end{split}\end{equation}

である。これは、広義一様収束するから、項別積分により、

\begin{equation}\begin{split}\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\log \sin xdx&=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\cos (2nx)dx-\int_0^{\frac{\pi}{2}}x\log 2dx \\ &=  -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}}x \cos (2nx) dx -\frac{\pi^2}{8}\log 2\end{split}\end{equation}

を得る。ここで、

\begin{equation}\begin{split}\int_0^{\frac{\pi}{2}}x \cos (2nx)dx &= \left[ \frac{x\sin (2nx)}{2n} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin (2nx)}{2n}dx \\ &=\frac{1}{(2n)^2} (\cos (n\pi )-1) \\ &=\begin{cases}-\frac{1}{2n^2} & n : \text{奇数} \\ 0 & n : \text{偶数} \end{cases} \end{split}\end{equation}

であるから、

\begin{equation}\begin{split} \int_0^{\frac{\pi}{2}}x\log \sin xdx &= -\sum_{n : \text{正の奇数}}\frac{1}{n}\left( -\frac{1}{2n^2} \right) -\frac{\pi^2}{8}\log 2 \\ &= \frac{1}{2}\sum_{n : \text{正の奇数}}\frac{1}{n^3} - \frac{\pi^2}{8}\log 2 \end{split}\end{equation}

と積分が計算される。

\displaystyle \sum_{n : \text{正の奇数}}\frac{1}{n^3} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^3}=\frac{7}{8}\zeta (3)

であるから、命題が示された。 Q.E.D.

この積分表示から次の系を得ることができます:

\ \ \ \displaystyle \zeta (3) = \frac{\pi^2}{7} \left\{ 1 - 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\zeta (2n)}{(2n+1)(2n+2)2^{2n}} \right\}.

証明. |x| < 1とする。正弦関数の無限積表示

\displaystyle \sin \pi x = \pi x \prod_{n=1}^{\infty}\left( 1 - \frac{x^2}{n^2} \right)

の自然対数をとって、\logについてTaylor展開することにより

\begin{equation}\begin{split}\log \sin \pi x &= \log \pi + \log x + \sum_{n=1}^{\infty}\log \left( 1 - \frac{x^2}{n^2} \right) \\ &= \log \pi + \log x + \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}}{m}\left( -\frac{x^2}{n^2} \right)^m \\ &= \log \pi +\log x - \sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}\left( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2m}} \right) x^{2m} \\ &= \log \pi + \log x - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta (2n)}{n}x^{2n}\end{split}\end{equation}

を得る。これは広義一様収束するので、項別積分により

\begin{equation}\begin{split}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\log \sin xdx &= \pi \int_0^{\frac{1}{2}}\log (\sin \pi x)dx \\ &= \pi \int_0^{\frac{1}{2}}\left( \log \pi + \log x -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta (2n)}{n}x^{2n} \right) dx \\ &= \frac{\pi}{2}\left( \log \pi \log 2 - 1 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\zeta (2n)}{n(2n+1)2^{2n}}\right) \end{split}\end{equation} -①

および

\begin{equation}\begin{split} \int_0^{\frac{\pi}{2}}x \log \sin x &= \pi^2 \int_0^{\frac{1}{2}}x \log (\sin \pi x)dx \\ &= \pi^2 \int_0^{\frac{1}{2}}\left( x\log \pi +x\log x-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta (2n)}{n}x^{2n+1} \right) dx \\ &= \frac{\pi^2}{8}\left( \log \pi -\log 2 -\frac{1}{2} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta (2n)}{n(n+1)2^{2n}}\right) \end{split}\end{equation}

となる。補題を用いることにより、①から

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta (2n)}{n(2n+1)2^{2n}} = \log \pi -1

を得る。

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta (2n)}{n(n+1)2^{2n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta (2n)}{n(2n+1)2^{2n}}+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta (2n)}{(2n+1)(2n+2)2^{2n}}

を用いて以上を組み合わせることにより証明が完了する。 Q.E.D.

\displaystyle \zeta (0)=-\frac{1}{2}を用いることによって、目的の定理が証明された。

*1:広義積分や無限級数の収束性や一様収束性を証明していると流れが分かりにくくなるので、省略します。