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数、特に整数に関する記事。

メルテンスの第二定理

この記事ではMertensの第二定理を証明します。素数の逆数の和が発散することについてはこれまでに三通りの証明の与えました:
integers.hatenablog.com
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この定理の精密版がMertensの第二定理です。この記事でも漸近挙動はx\to \inftyのみを考えるものとします。

Mertensの第二定理 ある定数A \in \mathbb{R}が存在して、
\displaystyle \sum_{p \leq x}\frac{1}{p} = \log \log x+A+O\left( \frac{1}{\log x} \right)
が成り立つ。

証明 2以上の整数nに対して、数列\{a_n\}nが素数pのときは\displaystyle a_n = \frac{\log p}{p}、合成数のときはa_n=0と定義する。n_0=2\{a_n\}\displaystyle \varphi (x) = \frac{1}{\log x}に対してAbelの総和法を適用する:
integers.hatenablog.com

\displaystyle S(x) = \sum_{p \leq x}\frac{\log p}{p} = \log x + \tau (x)

によって、\tau (x)を導入すると、

\begin{equation}\begin{split} \sum_{p \leq x}\frac{1}{p} &= \frac{S(x)}{\log x} + \int_2^x\frac{S(t)}{t\log^2 t}dt \\ &= 1+\frac{\tau (x)}{\log x} + \int_2^x\frac{dt}{t\log t} + \int_2^x\frac{\tau (t)}{t\log^2 t}dt \\ &= \log \log x+\left( 1-\log \log 2 + \int_2^{\infty} \frac{\tau (t)}{t\log^2 t}dt \right) + \left( \frac{\tau (x)}{\log x} - \int_x^{\infty}\frac{\tau (x)}{t\log^2 t}dt \right)\end{split}\end{equation}

を得る。

\displaystyle -\int_x^{\infty}\frac{dt}{t\log^2t}dt = \frac{1}{\log x}

であり、Mertensの第一定理
integers.hatenablog.com
より、\tau (x) = O(1)なので、

\displaystyle A:= 1-\log \log 2 + \int_2^{\infty} \frac{\tau (t)}{t\log^2 t}dt

は定数であり、

\begin{align} E(x) &:= \frac{\tau (x)}{\log x}-\int_x^{\infty}\frac{\tau (t)}{t\log^2 t}dt \\ &= O\left( \frac{1}{\log x} \right) + O\left( \int_x^{\infty}\frac{dt}{t\log^2t} \right) \\ &= O\left( \frac{1}{\log x} \right)\end{align}

なので、Mertensの第二定理が証明された*1Q.E.D.

*1:E(x)は第三定理の証明に用います。