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数、特に整数に関する記事。

メルテンスの第三定理

この記事ではMertensの定理の最終形態である、Mertensの第三定理の証明を紹介します。主張を述べる前にEulerの定数を次の記事で思い出しておきましょう:
integers.hatenablog.com
漸近公式は全てx \to \inftyで考えます。また、和や積におけるpは素数を表します。

Mertensの第三定理 \ \ \ \ \ \ \displaystyle \prod_{p \leq x}\left( 1-\frac{1}{p} \right) \sim \frac{e^{-\gamma}}{\log x}.

補題 \ \ \ \ \ \ \displaystyle \gamma = -\Gamma'(1)=-\int_0^{\infty}e^{-x}\log xdx.

証明. 上述の階乗に関する記事で証明したWeierstrassの無限積表示の両辺の自然対数をとることにより

\displaystyle -\log \Gamma (s) = \gamma s+\log s + \sum_{n=1}^{\infty}\left\{ \log \left( 1+\frac{s}{n} \right) -\frac{s}{n} \right\}

が得られる。両辺を微分することにより、

\displaystyle -\frac{\Gamma'(s)}{\Gamma (s)} = \gamma +\frac{1}{s}+\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n+s}-\frac{1}{n} \right).

右辺の和は広義一様収束するので、項別微分は正当化される。よって、s=1を代入することによって-\Gamma'(1)=\gammaを得る。 Q.E.D.

第三定理の証明を理解するためには、
integers.hatenablog.com
に書いた素数の逆和が発散することの証明および
integers.hatenablog.com
の内容を理解している必要があります。

Mertensの第三定理の証明. s\geq 1に対して

\displaystyle F(s) := -\sum_p\left\{ \log \left( 1-\frac{1}{p^s} \right) + \frac{1}{p^s} \right\}

とおく。これは素数の逆和が発散することの証明に現れたF(s)に一致する(\logのTaylor展開によりわかる)。従って一様収束し、特に\displaystyle \lim_{s \to +1}F(s) = F(1)であることがわかる。しばらくの間s > 1とする。
数列\{a_n\}_{n=2}^{\infty}nが素数pのときはa_n=1/pnが合成数のときはa_n=0によって定義する。n_0=2\{a_n\}\varphi (x) = x^{1-s}に対してAbelの総和法
integers.hatenablog.com
を適用する。このとき、

\displaystyle S(x) = \sum_{p \leq x}\frac{1}{p} = \log \log x +A+E(x)

であり(A, E(x)についてはMertensの第二定理に関する記事を参照)、

\displaystyle \sum_{p \leq x}\frac{1}{p^s} = \frac{S(x)}{x^{s-1}} + (s-1)\int_2^x \frac{S(t)}{t^s}dt

が得られる。素数の逆和の発散証明における①式からx \to \inftyとしてもこの等式は収束しており、Mertensの第二定理より

\begin{equation}\begin{split}\sum_p\frac{1}{p^s} &= 0+(s-1)\int_2^{\infty}\frac{S(t)}{t^s}dt \\ &= (s-1)\int_2^{\infty}\frac{\log \log t+A}{t^s}dt+(s-1)\int_2^{\infty}\frac{E(t)}{t^s}dt\end{split}\end{equation}

を得る。t=e^{\frac{u}{s-1}}と変数変換することにより

\begin{equation}\begin{split}(s-1)\int_1^{\infty}\frac{\log \log t}{t^s}dt &= \int_0^{\infty}e^{-u}\log \frac{u}{s-1}du \\ &= \int_0^{\infty}e^{-u}\log u du-\log (s-1)\int_0^{\infty}e^{-u}du \\ &= -\gamma - \log (s-1).\end{split}\end{equation}

ここで、補題を用いた。また、\displaystyle (s-1)\int_1^{\infty}\frac{dt}{t^s}=1であるから、

\displaystyle \sum_p\frac{1}{p^s} = -\gamma - \log (s-1)+A+(s-1)\int_2^{\infty}\frac{E(t)}{t^s}dt -(s-1)\int_1^2\frac{\log \log t+A}{t^s}dt.

ここで、\displaystyle |E(t)| < \frac{C}{\log t}なるC > 0をとって(Mertensの第二定理よりとれる)、\xi = \xi (s) = e^{\frac{1}{\sqrt{s-1}}}とする。このとき、

\begin{equation}\begin{split}\left| (s-1)\int_2^{\infty}\frac{E(t)}{t^s}dt \right| &< \frac{C(s-1)}{\log 2}\int_2^{\xi}\frac{dt}{t} + \frac{C(s-1)}{\log \xi}\int_{\xi}^{\infty}\frac{dt}{t^s} \\ &< \frac{C}{\log 2} \left\{ (s-1)\log \xi + \frac{1}{\log \xi} \right\} = \frac{2C}{\log 2}\sqrt{s-1}\end{split}\end{equation}

であり、これはs \to +10に収束する。また、

\displaystyle \left| \int_1^2\frac{\log \log t+A}{t^s}dt \right| \leq \int_1^2 \frac{|\log \log t+A|}{t}dt.

0 < \alpha < 1なる\alphaを固定するとき、\displaystyle \lim_{t \to +1}(t-1)^{\alpha}|\log \log t|=0なので上の積分は収束する。従って、

\displaystyle \lim_{s \to +1}\left\{ \sum_p\frac{1}{p^s} + \log (s-1) \right\} = -\gamma +A

が示された。
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で証明した\displaystyle \lim_{s \to +1}(s-1)\zeta (s) = 1および素数の逆和の発散証明における式①より-F(1)=-\gamma +A、すなわち

\displaystyle A=\gamma + \sum_p \left\{ \log \left( 1-\frac{1}{p} \right) + \frac{1}{p} \right\}

が得られた。

\displaystyle \sum_{p \leq x}\frac{1}{p} + \sum_{p \leq x}\log \left( 1-\frac{1}{p} \right) = \sum_{p \leq x} \left\{ \log \left( 1-\frac{1}{p}\right) + \frac{1}{p} \right\}

であるから、Mertensの第二定理より

\displaystyle \sum_{p \leq x}\log \left( 1-\frac{1}{p} \right) = \sum_{p \leq x}\left\{ \log \left( 1-\frac{1}{p}\right) + \frac{1}{p} \right\} - \log \log x - A + o(1).

よって、

\displaystyle \log \left\{ \log x \prod_{p \leq x} \left( 1-\frac{1}{p}\right) \right\} = \sum_{p \leq x}\left\{ \log \left( 1-\frac{1}{p} \right) +\frac{1}{p} \right\} - A +o(1) \xrightarrow{x \to \infty} -\gamma

となって第三定理の証明が完了する。 Q.E.D.