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数、特に整数に関する記事。

246:双子素数予想

246は素数のスモールギャップに関する結果における世界記録です。

定義 \ pp+2がともに素数であるとき、(p, p+2)のことを双子素数という。

例)(1019, 1021)

文献によって微妙に定義が異なりますが、上の定義のように「ペア」のことを「~素数」とよぶのは面白いです*1。双子素数に関して、次の予想が基本的な未解決問題です:

予想 双子素数は無数に存在する。

これは素数のギャップに関する言葉で言い換えると次のようになります(p_nn番目の素数):

予想 \displaystyle \liminf_{n \to \infty} \ (p_{n+1}-p_n) = 2.

スモールギャップの研究の進展状況

(Goldston-Pintz-Yıldırım 2005)

\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \ \frac{p_{n+1}-p_n}{\log n} = 0.

(Zhang Yitang 2013)

\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \ (p_{n+1}-p_n) \leq 70000000.

(James Maynard and Terence Tao 2013)

\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \ (p_{n+1}-p_n) \leq 600.

(PolyMath8 2014)

\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \ (p_{n+1}-p_n) \leq 246.

予告

PolyMath8の証明を紹介するには準備が必要なので、次々回、はるかに簡単な結果である『ふたご素数の逆数和が収束する』ことの証明を紹介します。

*1:嘘です。昔から気持ち悪いと思ってますw 「素数双子」の方が正しい気がします。高木貞治『初等整数論講義』では「素数の双生児」という語を使っています。