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INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

17:p^q+q^pの形で表せる唯一の素数(ただし、p, qは素数)

17p^q+q^p(p, qは素数)の形で表すことのできる唯一の素数です。

これはPrime Curious!の17に関するページでも紹介されている事実です:
https://primes.utm.edu/curios/page.php?short=17

証明は簡単なので省略しますが、2016年2月25日に京都大学の入試でこの事実を証明させる問題が出題されました。

なお、Grothendieck素数57もこの形で表すことができます:57=2^5+5^2

p^q+q^r+r^pの形をした素数

それでは、素数p, q, rを用いてp^q+q^r+r^pの形で表すことのできる素数にはどのようなものがあるでしょうか?

例えば、

\displaystyle 3^3+3^7+7^3=2557

\displaystyle 3^{11}+11^5+5^3=33823

\displaystyle 5^5+5^7+7^5=98057

\displaystyle 3^5+5^{11}+11^3=48829699

\displaystyle 3^3+3^{19}+19^3=1162268353

\displaystyle 5^7+7^{23}+23^5=27368747340087430811

\displaystyle 5^5+5^{31}+31^5=4656612873077421210401

\displaystyle 7^{17}+17^{19}+19^7=239072435917782732706099

\displaystyle 5^5+5^{67}+67^5=67762635780344027125465800054371356965461456357

\displaystyle 23^{31}+31^{37}+37^{23}=15148954872648482276691928980584080446058745304169135891

などが見つかります。

問題提起
p^q+q^r+r^pの形をした素数はどれだけ存在するか?無数に存在するのだろうか?(ただし、p, q, rは素数)

更なる一般化

例えば

2^3+3^5+5^{11}+11^2=48828497

がすぐに見つかります。用語として巡回和素数なんてどうでしょうか??

(追記:その後判明した巡回和素数)
2^3+3^5+5^7+7^{11}+11^{13}+13^2=34524689549219 (manchanr4氏)

17に関する他の性質

integers.hatenablog.com