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INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

294001:弱い素数

任意に一つの桁の数を選んで、その数を他の数に変えると素数でなくなってしまうような素数のことを弱い素数といいます。

最小の弱い素数は294001です。つまり、294001自身は素数であって、任意に一つの桁の数を選んで他の数(0から9)に変えてできる6\times 9=54通りの数は全て合成数となります:

\begin{align}94001&=23 \times 61 \times 67\\
194001&=3\times 64667\\
394001&=47\times 83\times 101\\
494001&=3^2\times 131\times 419\\
594001&=73\times 79\times 103\\
694001&=7\times 11\times 9013\\
794001&=3\times 13\times 20359\\
894001&=587\times 1523\\
994001&=239\times 4159\\
204001&=7\times 151\times 193\\
214001&=173\times 1237\\
224001&=3^2\times 24889\\
234001&=29\times 8069\\
244001&=17\times 31\times 463\\
254001&=3\times 11\times 43\times 179\\
264001&=227\times 1163\\
274001&=7\times 13\times 3011\\
284001&=3\times 137\times 699\\
290001&=3\times 96667\\
291001&=397\times 733\\
292001&=29\times 10069\\
293001&=3\times 101\times 967\\
295001&=7\times 17\times 37\times 67\\
296001&=3^3\times 19\times 577\\
297001&=43\times 6907\\
298001&=11\times 27091\\
299001&=3\times 99667\\
294101&=19\times 23\times 673\\
294201&=3^2\times 97\times 337\\
294301&=7\times 42043\\
294401&=83\times 3547\\
294501&=3\times 89\times 1103\\
294601&=151\times 1951\\
294701&=11\times 73\times 367\\
294801&=3\times 13\times 7559\\
294901&=29\times 10169\\
294011&=41\times 71\times 101\\
294021&=3^2\times 7\times 13\times 359\\
294031&=29\times 10139\\
294041&=11\times 26731\\
294051&=3\times 98017\\
294061&=157\times 1873\\
294071&=409\times 719\\
294081&=3\times 61\times 1607\\
294091&=7\times 42013\\
294000&=2^4\times 3\times 5^3\times 7^2\\
294002&=2\times 29\times 37\times 137\\
294003&=3^3\times 10889\\
294004&=2^2\times 31\times 2371\\
294005&=5\times 127\times 463\\
294006&=2\times 3\times 19\times 2579\\
294007&=7\times 97\times 433\\
294008&=2^3\times 11\times 13\times 257\\
294009&=3\times 23\times 4261\end{align}

弱い素数、最初の100個

\begin{align} &294001, 505447, 584141, 604171, 971767, 1062599, 1282529, 1524181, 2017963,\\
&2474431, 2690201, 3085553, 3326489, 4393139, 5152507, 5564453, 5575259,\\
&6173731, 6191371, 6236179, 6463267, 6712591, 7204777, 7469789, 7469797,\\
&7858771, 7982543, 8090057, 8353427, 8532761, 8639089, 9016079, 9537371,\\
&9608189, 9931447, 10506191, 10564877, 11124403, 11593019, 12325739,\\
&14075273, 14090887, 14151757, 15973733, 16497121, 17412427, 17412599,\\
&17424721, 18561293, 18953677, 19851991, 20212327, 20414561, 21044557,\\
&21089489, 21281479, 21496661, 21668839, 21717601, 22138349, 22431391,\\
&22480351, 23228479, 23274191, 23462969, 25081361, 25151927, 25475617,\\
&25556941, 25768091, 25872199, 25948847, 26024267, 26521721, 27242179,\\
&27245539, 27425521, 27465103, 27469241, 28046353, 28070047, 28978889,\\
&29136091, 29348797, 29638519, 30791767, 30915637, 30964013, 31240481,\\
&32524313, 33051769, 34302127, 34349969, 34586371, 35009671, 35319367,\\
&35355923, 35673679, 35954509, 36221597\end{align}

弱い素数は無数に存在する!

こういったタイプの素数の話を聞くと「面白いけど、heuristicな議論を使ってこのような素数が無数に存在するかしないかを予想するだけで、どうせ証明できないんでしょ?」と思うかもしれません(実際、定義から考えると(少なくとも私には)とても証明できそうにありません)。

ところが、大変驚くべきことに

弱い素数が無数に存在することは証明されています!!

ちなみに、何進法であっても示されています。こんなことが証明できてしまうなんて、人間もなかなかやるな~と私は思うのですが、このブログでその証明を紹介します*1

ですが、今は残念ながら紹介出来ません。というのも、証明を紹介するためには、先にSelbergの篩算術級数の素数定理*2を紹介・証明する必要があるからです。というわけで弱い素数の無限性証明を紹介するのはまだまだ先になってしまいそうですが、乞うご期待!!

*1:Erdősが示したそうですが、Terence Taoによるより強力な定理の証明を紹介する予定です。

*2:追記:こちらは証明を紹介しました。 integers.hatenablog.com