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数、特に整数に関する記事。

294001:弱い素数

294001

任意に一つの桁の数を選んで、その数を他の数に変えると素数でなくなってしまうような素数のことを弱い素数といいます。

最小の弱い素数は294001です。つまり、294001自身は素数であって、任意に一つの桁の数を選んで他の数(0から9)に変えてできる6\times 9=54通りの数は全て合成数となります:

94001=23 \times 61 \times 67
194001=3\times 64667
394001=47\times 83\times 101
494001=3^2\times 131\times 419
594001=73\times 79\times 103
694001=7\times 11\times 9013
794001=3\times 13\times 20359
894001=587\times 1523
994001=239\times 4159
204001=7\times 151\times 193
214001=173\times 1237
224001=3^2\times 24889
234001=29\times 8069
244001=17\times 31\times 463
254001=3\times 11\times 43\times 179
264001=227\times 1163
274001=7\times 13\times 3011
284001=3\times 137\times 699
290001=3\times 96667
291001=397\times 733
292001=29\times 10069
293001=3\times 101\times 967
295001=7\times 17\times 37\times 67
296001=3^3\times 19\times 577
297001=43\times 6907
298001=11\times 27091
299001=3\times 99667
294101=19\times 23\times 673
294201=3^2\times 97\times 337
294301=7\times 42043
294401=83\times 3547
294501=3\times 89\times 1103
294601=151\times 1951
294701=11\times 73\times 367
294801=3\times 13\times 7559
294901=29\times 10169
294011=41\times 71\times 101
294021=3^2\times 7\times 13\times 359
294031=29\times 10139
294041=11\times 26731
294051=3\times 98017
294061=157\times 1873
294071=409\times 719
294081=3\times 61\times 1607
294091=7\times 42013
294000=2^4\times 3\times 5^3\times 7^2
294002=2\times 29\times 37\times 137
294003=3^3\times 10889
294004=2^2\times 31\times 2371
294005=5\times 127\times 463
294006=2\times 3\times 19\times 2579
294007=7\times 97\times 433
294008=2^3\times 11\times 13\times 257
294009=3\times 23\times 4261

弱い素数、最初の100個

294001, 505447, 584141, 604171, 971767, 1062599, 1282529, 1524181, 2017963,
2474431, 2690201, 3085553, 3326489, 4393139, 5152507, 5564453, 5575259,
6173731, 6191371, 6236179, 6463267, 6712591, 7204777, 7469789, 7469797,
7858771, 7982543, 8090057, 8353427, 8532761, 8639089, 9016079, 9537371,
9608189, 9931447, 10506191, 10564877, 11124403, 11593019, 12325739,
14075273, 14090887, 14151757, 15973733, 16497121, 17412427, 17412599,
17424721, 18561293, 18953677, 19851991, 20212327, 20414561, 21044557,
21089489, 21281479, 21496661, 21668839, 21717601, 22138349, 22431391,
22480351, 23228479, 23274191, 23462969, 25081361, 25151927, 25475617,
25556941, 25768091, 25872199, 25948847, 26024267, 26521721, 27242179,
27245539, 27425521, 27465103, 27469241, 28046353, 28070047, 28978889,
29136091, 29348797, 29638519, 30791767, 30915637, 30964013, 31240481,
32524313, 33051769, 34302127, 34349969, 34586371, 35009671, 35319367,
35355923, 35673679, 35954509, 36221597

弱い素数は無数に存在する!

こういったタイプの素数の話を聞くと「面白いけど、heuristicな議論を使ってこのような素数が無数に存在するかしないかを予想するだけで、どうせ証明できないんでしょ?」と思うかもしれません(実際、定義から考えると(少なくとも私には)とても証明できそうにありません)。

ところが、大変驚くべきことに

弱い素数が無数に存在することは証明されています!!

こんなことが証明できてしまうなんて、人間もなかなかやるな~と私は思うのですが、このブログでその証明を紹介します!

ですが、今は残念ながら紹介出来ません。というのも、証明を紹介するためには、先にSelbergの篩算術級数の素数定理を紹介・証明する必要があるからです。というわけで弱い素数の無限性証明を紹介するのはまだまだ先になってしまいそうですが、乞うご期待!!