インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

芸術家の作品

2 5 13 41 61

2, 5, 13の3つ組はどの2つをとっても掛け合わせて1引けば平方数となります*1

\begin{equation}\begin{split}&2\times 5-1=3^2\\ &2\times 13-1=5^2 \\ &5\times 13-1=8^2\end{split}\end{equation}


これを4つ組には延長できないことを証明させるのが1986年の国際数学オリンピック第一問です。

証明. 自然数dが存在して、2d-1, 5d-1, 13d-1が全て平方数になったと仮定する。法16における平方剰余は0, 1, 4, 9であることに注意する。2d-1\equiv 0, 4\pmod{16}なる自然数dは存在しないので、2d-1 \equiv 1, 9\pmod{16}でなければならない。そうなるのは、d \equiv 1, 5, 9, 13\pmod{16}のときである。しかしながら、d \equiv 5, 9\pmod{16}ならば5d-1 \equiv 8, 12 \pmod{16}は平方非剰余、d \equiv 1, 13\pmod{16}ならば13d-1 \equiv 12, 8\pmod{16}は平方非剰余となる。矛盾。 Q.E.D.

さっき、少し計算してみたら2, 41, 61の3つ組も同じ性質を満たすことがわかりました:

\begin{equation}\begin{split}&2\times 41-1=9^2 \\ &2\times 61-1=11^2 \\ &41\times 61-1=50^2\end{split}\end{equation}


これも4つ組には延長できません。どなたか4つ組の例を見つけてくださるプログラマがおられると嬉しいです。

追記1

3つ組はサーチすればたくさん見つかるようです。

100以下の範囲では

[1, 2, 5]
[1, 5, 10]
[1, 5, 65]
[1, 10, 17]
[1, 17, 26]
[1, 26, 37]
[1, 37, 50]
[1, 50, 65]
[1, 65, 82]
[2, 5, 13]
[2, 13, 25]
[2, 25, 41]
[2, 41, 61]
[2, 61, 85]
[5, 10, 29]
[5, 13, 34]
[5, 29, 58]
[5, 34, 65]
[5, 58, 97]
[10, 17, 53]
[10, 29, 73]
[13, 25, 74]
[13, 34, 89]
[17, 26, 85]

が見つかります(丸蔵次郎(マルゾー)様(id:maruzo-jiro)に教えて頂きました)。

何故、私がこの中で[ 2, 41, 61] を手計算で発見したかと言うと、全部素数のケースだからですw

追記2

4つ組は存在しないと予想されているようです。
integers.hatenablog.com

追記3

3つ組は無数に存在します。例えば、2つ組[ 1, 2] を延長した[ 1, 2, d] が3つ組になるには

\begin{equation}\begin{split}&d-1=y^2\\ &2d-1=x^2\end{split}\end{equation}

なる自然数x, yが存在すればよいですが、それはPell方程式

x^2-2y^2=1

が無数に自然数解(x, y)を持つことと同値です。Pell方程式は実際に無数に自然数解をもつので、[ 1, 2] の3つ組への延長は無数に存在することが分かります。例えば、

17^2-2\times  12^2 = 1

なので、3つ組[ 1, 2, 145] が得られます。

*1:なぜ題名が『芸術家の作品』であるかは小島寛之著『解法のスーパーテクニック』を読んだ方には伝わると思います。