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数、特に整数に関する記事。

1213:各桁の数の総和が素数となる素数(加法的素数)

1213加法的素数です。

加法的素数とは各桁の数の総和が素数となるような素数のことをいいます:

\displaystyle 1+2+1+3=7

は素数なので、1213が加法的素数であることが分かります。

定理 加法的素数は無数に存在する。

加法的素数に関する近年の進展

b2以上の整数とし、数論的関数S_b(n)nb進法表示における各桁の数の総和と定めます。また、b-1と互いに素な自然数kと実数xに対して

\displaystyle S(k, x):= \# \{ p \leq x \mid p : \text{素数}, S_b(p) = k\}

とおきます。このとき、次のようにS(k, x)の漸近公式が得られています:

定理(Drmota-Mauduit-Rivat (2009)) 任意の正の数\varepsilonに対して

\displaystyle {\small S(k, x) = \frac{b-1}{\varphi (b-1)}\frac{\pi (x)}{\sqrt{2\pi s_b\log_b x}}\left( \exp \left( -\frac{(k-\mu_b\log_b x)^2}{2s_b\log_bx}\right) + O\left( (\log x)^{-\frac{1}{2}+\varepsilon}\right) \right)}

成り立つ。ここで、\varphi (n)はEulerのトーシェント関数、\pi (x)は素数個数関数で、s_b = \frac{b^2-1}{12}, \mu_b = \frac{b-1}{2}である。

この著しい結果を応用することによって、Harmanは次のような結果を得ています:

定理(Harman (2012))
\displaystyle \sum_{\substack{p \leq x \\ p : b\text{加法的素数}}}\frac{1}{p} = \frac{b-1}{\varphi (b-1)}\log \log \log x + O(1), \ (x \to \infty).

pb加法的素数とはS_b(p)が素数になるような素数のときにいいます。Harmanの結果によってb加法的素数の逆数和が発散することがわかるので、特にb加法的素数が無数に存在することも分かります。

加法的素数 最初の100個

2
3
5
7
11
23
29
41
43
47
61
67
83
89
101
113
131
137
139
151
157
173
179
191
193
197
199
223
227
229
241
263
269
281
283
311
313
317
331
337
353
359
373
379
397
401
409
421
443
449
461
463
467
487
557
571
577
593
599
601
607
641
643
647
661
683
719
733
739
751
757
773
797
809
821
823
827
829
863
881
883
887
911
919
937
953
971
977
991
1013
1019
1031
1033
1039
1051
1091
1093
1097
1103
1109