1213：各桁の数の総和が素数となる素数（加法的素数）

$1213$ は加法的素数です。

加法的素数とは各桁の数の総和が素数となるような素数のことをいいます：

$\displaystyle 1+2+1+3=7$

は素数なので、 $1213$ が加法的素数であることが分かります。

定理加法的素数は無数に存在する。

加法的素数に関する近年の進展

$b$ を $2$ 以上の整数とし、数論的関数 $S_b(n)$ を $n$ の $b$ 進法表示における各桁の数の総和と定めます。また、 $b-1$ と互いに素な自然数 $k$ と実数 $x$ に対して

$\displaystyle S(k, x):= \# \{ p \leq x \mid p : \text{素数}, S_b(p) = k\}$

とおきます。このとき、次のように $S(k, x)$ の漸近公式が得られています：

定理（Drmota-Mauduit-Rivat (2009)） 任意の正の数 $\varepsilon$ に対して

$\displaystyle {\small S(k, x) = \frac{b-1}{\varphi (b-1)}\frac{\pi (x)}{\sqrt{2\pi s_b\log_b x}}\left( \exp \left( -\frac{(k-\mu_b\log_b x)^2}{2s_b\log_bx}\right) + O\left( (\log x)^{-\frac{1}{2}+\varepsilon}\right) \right)}$

成り立つ。ここで、 $\varphi (n)$ はEulerのトーシェント関数、 $\pi (x)$ は素数個数関数で、 $s_b = \frac{b^2-1}{12}$ , $\mu_b = \frac{b-1}{2}$ である。

この著しい結果を応用することによって、Harmanは次のような結果を得ています：

定理（Harman (2012)）

$\displaystyle \sum_{\substack{p \leq x \\ p : b\text{加法的素数}}}\frac{1}{p} = \frac{b-1}{\varphi (b-1)}\log \log \log x + O(1), \ (x \to \infty).$

$p$ が $b$ 加法的素数とは $S_b(p)$ が素数になるような素数のときにいいます。Harmanの結果によって $b$ 加法的素数の逆数和が発散することがわかるので、特に $b$ 加法的素数が無数に存在することも分かります。

加法的素数最初の100個

$\begin{align}&2, 3, 5, 7, 11, 23, 29, 41, 43, 47, 61, 67, 83, 89, 101, 113, 131, 137, 139, 151, 157, 173, \\ &179, 191, 193, 197, 199, 223, 227, 229, 241, 263, 269, 281, 283, 311, 313, 317, 331, 337,\\ &353, 359, 373, 379, 397, 401, 409, 421, 443, 449, 461, 463, 467, 487, 557, 571, 577, 593,\\ &599, 601, 607, 641, 643, 647, 661, 683, 719, 733, 739, 751, 757, 773, 797, 809, 821, 823,\\ &827, 829, 863, 881, 883, 887, 911, 919, 937, 953, 971, 977, 991, 1013, 1019, 1031, 1033,\\ &1039, 1051, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109\end{align}$