eの無限積表示と素数の無限性

$e$ だって素数の無限性を出せるんだからね！！

定理１ $x \in \mathbb{C}$ を $\left|x\right| < 1$ を満たすような複素数とするとき、

$\displaystyle e^{-x}=\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)^{\frac{\mu (n)}{n}}$

が成り立つ。

Möbius関数 $\mu (n)$ についてはメビウス関数 - INTEGERSを参照してください。

証明. $F(x), \ G(x)$ を

$\displaystyle F(x):= \prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)^{\frac{\mu (n)}{n}},\quad G(x) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu (n)}{n}x^n$

とおく。これらは $\left|x\right| < 1$ で絶対収束し、解析関数を定める。

$\displaystyle \log F(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu (n)}{n}\log (1-x^n) = -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu (n)}{n}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^{mn}}{m} = \sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m}G(x^m)$

と計算できるので、両辺を微分することにより

$\displaystyle x\frac{F'(x)}{F(x)} = \sum_{m=1}^{\infty}G'(x^m)x^m = -\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\mu (n)x^{mn} = -\sum_{n=1}^{\infty}\left( \sum_{d \mid k}\mu (d) \right) x^k$