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数、特に整数に関する記事。

eが超越数であることの証明

定数でない有理数係数多項式の根とならないような複素数のことを超越数といいます。

私が初めてこの概念を知ったのは中学二年生のときで、学校の図書館で読んだ本に載っていました。その中二病的な響きに憧れを抱いたのを覚えています。

Hermiteは1873年にeが超越数であることを証明しました。文献はいくらでもありますが、この記事ではeの超越性証明を紹介したいと思います。

eが超越数であることの証明

補題 f(x) \in \mathbb{R}[ x] , n := \deg f(x) \geq 1とする。また、

\displaystyle F(x) := \sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(x)

F(x)を定める。このとき、任意のa \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}に対して0aの間の数\xiが存在して

\displaystyle F(a) = e^aF(0)-ae^{a-\xi}f(\xi) ―①

が成り立つ。

証明.

\displaystyle \frac{d}{dx}(e^{-x}F(x)) = -e^{-x}f(x)

が成り立つので、平均値の定理により0aの間の数\xiが存在して

\displaystyle e^{-a}F(a)-F(0) = -e^{-\xi}f(\xi)a

が成り立つ。 Q.E.D.

注意 f(x)のTaylor展開

\displaystyle f(x) = f(a) +f'(a)(x-a)+f''(a)\frac{(x-a)^2}{2!}+\cdots +f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}

において(x-a)^kk!に置き換えたものがF(a)であることに注意する。

eが超越数であることの証明. eが代数的数であったと仮定する。このとき、c_0, c_1, \dots, c_n \in \mathbb{Z}, c_0 \neq 0が存在して

\displaystyle c_0+c_1e+\cdots +c_ne^n=0 ―②

が成り立つ。とても大きい素数pを固定して

\displaystyle f(x):=\frac{x^{p-1}}{(p-1)!}\{(x-1)\cdots (x-n)\}^p

とおく(どれぐらい大きくとってるかは証明を読んでいくと判明する)。このとき、補題より各k=1, \dots, nに対して\xi_k \in (0, k)が存在して

\displaystyle F(k)=e^kF(0)-ke^{k-\xi_k}f(\xi_k)

が成り立つ(F(x)は今考えているf(x)について、補題におけるF(x)と同様に定義する)。これを足し合わせることによって、②から

\displaystyle {\small c_0F(0)+c_1F(1)+\cdots +c_nF(n)=-\{c_1e^{1-\xi_1}f(\xi_1)+2c_2e^{2-\xi_2}f(\xi_2)+\cdots nc_ne^{n-\xi_n}f(\xi_n)\}} ―③

が得られる。さて、f(x)

\displaystyle f(x) = \frac{1}{(p-1)!}\{(-1)^{np}(n!)^px^{p-1}+a_1x^p+a_2x^{p+1}+\cdots \}

と展開しよう(a_i \in \mathbb{Z})。x^{p-1}\mapsto (p-1)!, x^p \mapsto p!, x^{p+1} \mapsto (p+1)!, \dotsと置き換えることにより

\begin{equation}\begin{split} F(0) &= \frac{1}{(p-1)!}\{(-1)^{np}(n!)^p(p-1)!+a_1p!+a_2(p+1)!+\cdots \} \\ &=(-1)^{np}(n!)^p+pd_0\end{split}\end{equation}

が成り立つ(注意を参照。d_0 \in \mathbb{Z})。

実はpnより大きくとっていたので、p(-1)^{np}(n!)^pを割り切らない。すなわち、

\displaystyle p \nmid F(0) ―④

k \geq 1のときはf(x)(x-k)^pを因子にもつので

\displaystyle f(x) = \frac{1}{(p-1)!}\{b_{p}^{(k)}(x-k)^p+b_{p+1}^{(k)}(x-k)^{p+1}+\cdots \}

と展開できる(b_i^{(k)} \in \mathbb{Z})。よって、先ほどと同様にして

\displaystyle F(k) = \frac{1}{(p-1)!}\{ p!b_p^{(k)}+(p+1)!b_{p+1}^{(k)}+\cdots \} \in p\mathbb{Z} ―⑤

が分かる。実はp > c_0にとっており、pが素数であることに注意すると、④、⑤より

\displaystyle \mathbb{Z} \ni c_0F(0)+c_1F(1)+\cdots +c_nF(n) \neq 0 ―⑥

さて、\xi_k > 0であるからe^{1-\xi_k} < e^nである。また、0 < \xi_k < kから

\displaystyle |f(\xi_i)| < \frac{1}{(p-1)!}n^{p-1}(n^n)^p

と評価できる。よってC:=\max \{ |c_0|, \dots , |c_n|\}とおくと、最終的に

\displaystyle \text{③の右辺の絶対値} < (1+2+\cdots +n)C(en)^n\frac{(n^{n+1})^{p-1}}{(p-1)!}

なる評価を得る。nは固定されていることに注意して、pを限りなく大きくするとこの値はいくらでも小さくなることが分かる:(

integers.hatenablog.com
で紹介した極限公式を参照してください。)

よって、⑥と合わせると01の間に整数が存在することが導かれて矛盾する。 Q.E.D.

証明の構造と素数の無限性

無理数性や超越性の証明の常套手段は、背理法の仮定を上手く用いて

\displaystyle A_N=B_N

なる形の等式を作り、「A_N0でない整数」であることと「\displaystyle \lim_{N \to \infty}B_N = 0」を示すことによって十分大きいNで矛盾を導くというものです(そのとき、十分大きいNに対して|A_N|01の間の整数となってしまう)。

さて、この観点でeの超越性証明を振り返ってみると、最初のA_N=B_Nという等号を導くのに①が絶妙に上手く働いていることが分かります。そして①の証明には「e^xの微分」が効いています。

しかしながら、補題におけるf(x)0でないどんな実数係数多項式に対しても適用できる一方、それ以降の証明を機能させるためにはテスト関数を上手く選ぶ必要があります。

今回の証明ではB_Nの評価の部分(よくある階乗の評価に帰着)よりも「A_Nの非零性」にアイデアが詰まっていると感じます。それはパラメータNとして素数pをとるという点です。補題を応用することによって得られた、A_Nに対応する

\displaystyle c_0F(0)+c_1F(1)+\cdots +c_nF(n)

が零でないことを示すのは一般には難しそうに思えますが、素数の性質を華麗に用いてp \nmid A_pを示しています(素数で割れない整数は0ではない!)。

そして、「素数は無数に存在する」ため、p \to \inftyとすることが許されるのです。


さて、ここからはマニアックかつ無意義な話になりますが、前回の記事

integers.hatenablog.com

e^{-\frac{1}{2}}の無理性を用いた素数の無限性証明を紹介しました。この証明における前提条件である「e^{-\frac{1}{2}}の無理性」の根拠を今回の記事の証明に求めると循環論法となってしまいます。前々回の記事

integers.hatenablog.com

における第四証明では素数の無限性を用いていなかったため、循環論法にはならないのです。その証明は積分表示を用いたものだったのですが、積分表示による証明の利点は「非零性が被積分関数を見れば自明である」という点です。

そこで、極めてマニアックな疑問ではありますが、次の疑問を長年もっています:

疑問 素数の無限性を用いないeの超越性証明は存在するか?