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数、特に整数に関する記事。

log 2

log2 127 251 449 4801 8749

\log 2 \in \mathbb{R}は次のような周期として定義されます:

\displaystyle \log 2 := \int_1^2\frac{dx}{x}

数値は

\log 2=0.69314718055994530941723212145817656807550013436025\cdots

0.69までは誰でも覚えていると思いますが、その続きが314なので覚えやすいですね!

\log 2に関する次の級数はとても有名です:

\displaystyle \log 2 = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots ―①

これはTaylor展開

\displaystyle \log (1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \ \ (|x| < 1)

の収束半径上の代入x=1であって条件収束ですが、例えば証明は

Log2に収束する交代級数の証明 | 高校数学の美しい物語

に書いてあります。

上記Taylor展開においてx=-1/2を代入すれば

\displaystyle \log 2 = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n2^n}

なる表示も得られます。

①はLeibnizの公式

\displaystyle \frac{\pi}{4} = 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots

に類似した公式と言えますが、Machinの公式

\displaystyle \frac{\pi}{4}=4\arctan \left(\frac{1}{5}\right) - \arctan \left(\frac{1}{239} \right)

の類似の公式

\displaystyle \log 2 = 2\mathrm{arctanh} \left(\frac{1}{5} \right) + 2\mathrm{arctanh} \left( \frac{1}{7}\right)

はEulerが1748年に発見しています。\langle x \rangle := \mathrm{arctanh} xと記号を定めると

\displaystyle \langle x+y \rangle = \frac{\langle x \rangle + \langle y \rangle}{1+\langle x \rangle \langle y \rangle}

が成り立ちます。これは双曲線関数の加法定理に他なりません → 双曲線関数の加法定理とその証明 | 高校数学の美しい物語

この公式によって

\displaystyle \left\langle \frac{1}{3} \right\rangle = \left\langle \frac{1}{5} \right\rangle +\left\langle \frac{1}{7} \right\rangle

が成り立つことを確認できるので、Eulerの公式が成り立つことがわかります(\log 2 = 2\langle 1/3 \rangleに注意)。

integers.hatenablog.com

では高野喜久雄の公式を紹介しましたが、\log 2についても非常に収束の速い式が発見されています:

\displaystyle \log 2 = 144 \left\langle \frac{1}{251}\right\rangle +54\left\langle \frac{1}{449}\right\rangle -38\left\langle \frac{1}{4801}\right\rangle + 62\left\langle \frac{1}{8749}\right\rangle

\displaystyle \log 2 = 72 \left\langle \frac{1}{251}\right\rangle +54\left\langle \frac{1}{449}\right\rangle +34\left\langle \frac{1}{4801}\right\rangle -10\left\langle \frac{1}{8749}\right\rangle

ちなみに、ここに現れた127, 251, 449, 4801, 8749のうち素数でないのは8749=13\times 673のみです。

さて、\log 2が超越数であることを

integers.hatenablog.com

で述べましたが、ここでは\log 2の無理性のより直接な証明法を紹介しましょう。

定理 \log 2は無理数である。

証明. 非負整数nに対して

\displaystyle I_n := \int_1^2\left\{ \frac{(x-1)(2-x)}{x} \right\}^n \frac{dx}{x}

とおくと、

\displaystyle I_n=\sum_{\substack{i, j=0 \\ i+j\neq n}}^n\binom{n}{i}\binom{n}{j}(-1)^{n+i+j}\frac{2^i-2^{n-j}}{i+j-n} + \log 2 \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^22^k

と計算されるので、特に

\displaystyle d_nI_n \in \mathbb{Z}+\log 2 \mathbb{Z}

がわかる。ここで、d_n=\mathrm{lcm}[1, 2, \dots, n] 。また、

\displaystyle \max_{1 \leq x \leq 2}\left\{ \frac{(x-1)(2-x)}{x}\right\} = (\sqrt{2}-1)^2

なので、十分大きなnに対して

\displaystyle 0 < d_nI_n < \log 2 \{ 3(\sqrt{2}-1)^2 \}^n

と評価される。ただし、

integers.hatenablog.com

で証明した d_n < 3^n \ \ (n \gg 0)を用いた。中括弧の中身は0.514718626\cdotsなので、もし\log 2が有理数であれば、十分大きいnで矛盾が生じる。 Q.E.D.