log 2 - INTEGERS

$\log 2 \in \mathbb{R}$ は次のような周期として定義されます：

$\displaystyle \log 2 := \int_1^2\frac{dx}{x}$

数値は

$\log 2=0.69314718055994530941723212145817656807550013436025\cdots$

$0.69$ までは誰でも覚えていると思いますが、その続きが $314$ なので覚えやすいですね！

$\log 2$ に関する次の級数はとても有名です：

$\displaystyle \log 2 = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$ ―①

これはTaylor展開

$\displaystyle \log (1+x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n} \ \ (|x| < 1)$

の収束半径上の代入 $x=1$ であって条件収束ですが、例えば証明は

log2に収束する交代級数の証明 | 高校数学の美しい物語

に書いてあります。

上記Taylor展開において $x=-1/2$ を代入すれば

$\displaystyle \log 2 = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n2^n}$

なる表示も得られます。

①はLeibnizの公式

$\displaystyle \frac{\pi}{4} = 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$

に類似した公式と言えますが、Machinの公式

$\displaystyle \frac{\pi}{4}=4\arctan \left(\frac{1}{5}\right) - \arctan \left(\frac{1}{239} \right)$

の類似の公式

$\displaystyle \log 2 = 2\mathrm{arctanh} \left(\frac{1}{5} \right) + 2\mathrm{arctanh} \left( \frac{1}{7}\right)$

はEulerが1748年に発見しています。 $\langle x \rangle := \mathrm{arctanh} x$ と記号を定めると

$\displaystyle \langle x+y \rangle = \frac{\langle x \rangle + \langle y \rangle}{1+\langle x \rangle \langle y \rangle}$

が成り立ちます。これは双曲線関数の加法定理に他なりません → 双曲線関数の加法定理とその証明 | 高校数学の美しい物語

この公式によって

$\displaystyle \left\langle \frac{1}{3} \right\rangle = \left\langle \frac{1}{5} \right\rangle +\left\langle \frac{1}{7} \right\rangle$

が成り立つことを確認できるので、Eulerの公式が成り立つことがわかります（ $\log 2 = 2\langle 1/3 \rangle$ に注意）。

integers.hatenablog.com

では高野喜久雄の公式を紹介しましたが、 $\log 2$ についても非常に収束の速い式が発見されています：

$\displaystyle \log 2 = 144 \left\langle \frac{1}{251}\right\rangle +54\left\langle \frac{1}{449}\right\rangle -38\left\langle \frac{1}{4801}\right\rangle + 62\left\langle \frac{1}{8749}\right\rangle$

$\displaystyle \log 2 = 72 \left\langle \frac{1}{127}\right\rangle +54\left\langle \frac{1}{449}\right\rangle +34\left\langle \frac{1}{4801}\right\rangle -10\left\langle \frac{1}{8749}\right\rangle$

ちなみに、ここに現れた $127, 251, 449, 4801, 8749$ のうち素数でないのは $8749=13\times 673$ のみです。

さて、 $\log 2$ が超越数であることはHermite-Lindemannの定理

integers.hatenablog.com

から従いますが、ここでは $\log 2$ の無理性のより直接な証明法を紹介しましょう。

定理 $\log 2$ は無理数である。

証明. 非負整数 $n$ に対して

$\displaystyle I_n := \int_1^2\left\{ \frac{(x-1)(2-x)}{x} \right\}^n \frac{dx}{x}$

とおくと、

$\displaystyle I_n=\sum_{\substack{i, j=0 \\ i+j\neq n}}^n\binom{n}{i}\binom{n}{j}(-1)^{n+i+j}\frac{2^i-2^{n-j}}{i+j-n} + \log 2 \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^22^k$

と計算されるので、特に

$\displaystyle d_nI_n \in \mathbb{Z}+\log 2 \mathbb{Z}$

がわかる。ここで、 $d_n=\mathrm{lcm}[1, 2, \dots, n]$ 。また、

$\displaystyle \max_{1 \leq x \leq 2}\left\{ \frac{(x-1)(2-x)}{x}\right\} = (\sqrt{2}-1)^2$

なので、十分大きな $n$ に対して

$\displaystyle 0 < d_nI_n < \log 2 \{ 3(\sqrt{2}-1)^2 \}^n$

と評価される。ただし、数列lcm[1,2,…,n]のgrowthと素数定理 - INTEGERSで証明した $d_n < 3^n \ \ (n \gg 0)$ を用いた。中括弧の中身は $0.514718626\cdots$ なので、もし $\log 2$ が有理数であれば、十分大きい $n$ で矛盾が生じる。 Q.E.D.