定理(の原始乗根の一様分布性) を複素平面上の単位円周とし、弧を一つとって、その長さをとする。また、自然数に対しての原始乗根全体のなす集合をと記す。このとき、が成り立つ。
はEulerのトーシェント関数:オイラーのトーシェント関数とφ(R(n))=n - INTEGERS
注目すべき点はの漸近する値がの長さにしか依らないということです。主張を言葉で表現すれば、「単位円周上の弧を任意に取ると、の原始乗根全体の個数とその弧に属するの原始乗根の個数の比はが十分大きいと円周の長さと弧の長さの比に近づく」となります。単位円周上に分布するの原始乗根が実軸に対して対称に分布しているのは自明ですが、例えばのときは実部が正の部分にしかの原始乗根は現れません。上記定理によれば、を十分大きくすると虚軸に対して実部が正の部分と負の部分で殆ど均等にの原始乗根が分布していることが分かります。
証明
補題 .
証明. の元は上等間隔であることから
が成り立つ。 Q.E.D.定理の証明. Möbiusの反転公式(上記参考記事の反転公式(その一) )より
が成り立つので、
と評価できる。よって、
を得る。最後の数はでに収束することを二つ目の参考記事で示しているため、証明が完了する。 Q.E.D.