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数、特に整数に関する記事。

パワフル数

この記事ではパワフル数の解説を行います。色々と面白い事実が知られていますが、最初の記事ということでパワフル数の逆数の総和連続するパワフル数の無限性を紹介します。

パワフル数とは

定義 与えられた自然数nパワフル数であるとは、「素数pnを割り切るならばp^2nを割り切る」という条件を満たすときにいう。

つまり、素因数分解したときの指数が全て2以上のときにパワフル数と言います。上の定義から、1はパワフル数に入ります(便宜的にと言ってもよいです)。

powerfulという英単語の典型訳は「強力な」ですが、Golombが命名した"poerful number"を例えば「強力数」などと訳すと誤訳になると思われます。というのも、ここでいう"power"は「冪」という意味を表す数学用語だからです。Wikipediaでは「多冪数」という日本語訳を採用しているようですが、私は「パワフル数」と呼ぶほうが親しみやすい気がしました。

例えば、完全平方数は全てパワフル数なので、パワフル数が無数に存在することは明らかです。

補題 任意のパワフル数nn=m^2l^3mは自然数、lは無平方数(square-free))という形に一意的に表すことが出来る。

証明. (表示可能性) n=1のときはm=l=1とすればよい。n \geq 2のとき、nn=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}q_1^{f_1}\cdots q_h^{f_h}と素因数分解する。ただし、e_iは偶数、f_jは奇数であるとする。このとき、f_j=3+f'_jとすれば、nがパワフル数であることからf'_j \geq 0がわかる。よって、m^2=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}q_1^{f'_1}\cdots q_h^{f'_h}, l=q_1\cdots q_hとできる。 (一意性) nをパワフル数として、n=m^2l^3=m'^2l'^3と書けたと仮定する(l, l'は無平方)。l=l'を示せばよい。そうでなかったと仮定する。このとき、p \mid l, p \nmid l'なる素因数pが存在すると仮定してよい。すると、p \mid m'となって、m^2l^3=m'^2l'^3の左辺はpの指数が奇数であるが、右辺は偶数となって素因数分解の一意性に矛盾する。 Q.E.D.

定義 自然数nに対して、
\displaystyle \prod_{\substack{p \mid n \\ \mathrm{ord}_p(n) \geq 2}}p^{\mathrm{ord}_p(n)}
のことをnパワフルパートという。つまり、nの素因数分解における指数が2以上であるような素因数の積をnのパワフルパートという。そのような素因数が存在しない場合はnのパワフルパートを1と定める。

パワフルパートはパワフル数です。

パワフル数の逆数の総和

パワフル数の逆数の総和は収束します。すなわち、分布の意味において、パワフル数と素数ではパワフル数の方が圧倒的に少ないことがわかります。収束値は具体的に計算でき、

\displaystyle \frac{\zeta (2)\zeta(3)}{\zeta(6)}=\frac{315}{2\pi^4}\zeta (3)

に一致します。実際には次を証明すれば十分です:

定理 s\mathrm{Re}(s) > 1を満たすような複素数とする。このとき、
\displaystyle \sum_{\substack{n=1 \\ n: \text{パワフル数}}}^{\infty}\frac{1}{n^s} = \frac{\zeta (2s)\zeta(3s)}{\zeta (6s)}
が成り立つ。

Riemannゼータ関数およびそのEuler積表示については
integers.hatenablog.com
を参照してください。

証明. 補題より、

\displaystyle \sum_{\substack{n=1 \\ n: \text{パワフル数}}}^{\infty}\frac{1}{n^s} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{m^{2s}}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{\mu^2(l)}{l^{3s}}

が成り立つことが分かる。ここで、\mu^2(n)

\displaystyle \mu^2(n) = \begin{cases}1 & n\text{は無平方} \\ 0 &\text{otherwise}\end{cases}

で定まる数論的関数。\mu^2(n)は乗法的なので、

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu^2(n)}{n^s} = \prod_p\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\mu^2(p^k)}{p^{ks}}=\prod_p\left( 1+\frac{1}{p^s} \right)

が成り立つ(pは全ての素数をわたる)。従って、Euler積表示により

\displaystyle \frac{\zeta (3s)}{\zeta (6s)} = \frac{\prod_p\frac{1}{1-p^{-3s}}}{\prod_p\frac{1}{1-p^{-6s}}} = \prod_p\frac{1-p^{-6s}}{1-p^{-3s}}=\prod_p(1+p^{-3s}) = \sum_{l=1}^{\infty}\frac{\mu^2(l)}{l^{3s}}

が得られ、証明が完了する。 Q.E.D.

連続するパワフル数の無限性

例えば、8=2^3, 9=3^2は連続するパワフル数です。実は連続するパワフル数が無数に存在することを比較的容易に証明できます。

定理 x, yx^2-2y^2=1の整数解とする。このとき、
A:=2^3x^2y^2, B:=(x^2+2y^2)^2
は連続するパワフル数である。

証明.A, Bがパワフル数であることは明らか。

B-A=x^4-4x^2y^2+4y^4=(x^2-2y^2)^2=1
Q.E.D.

Pell方程式x^2-2y^2=1は無数に整数解をもつので、連続するパワフル数が無数に存在することがわかりました。例えば、3^2-2\cdot 2^2=1が成り立つので、連続するパワフル数

288=2^5\cdot 3^2,  \ 289 = 17^2

が手に入ります。