インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

Markov数

Markov数とはMarkovのDiophuntus方程式の自然数解(x, y, z)に現れる数のことを言います。

MarkovのDiophuntus方程式 三変数の方程式
\displaystyle x^2+y^2+z^2=3xyz
MarkovのDiophuntus方程式と言い、自然数解(x,y,z)のことをMarkovトリプル、Markovトリプルを構成する数をMarkov数と言う。

例えば、(2, 29, 169)はMarkovトリプルであり、従って2, 29, 169はMarkov数であることが分かります。

実は、Markov数は無数に存在します。このことは例えば次の定理から分かります:

定理 F_nn番目のFibonacci数とするとき、(1, F_{2n-1}, F_{2n+1})はMarkovトリプルをなす(nは自然数)。特に、奇数番目のFibonacci数は全てMarkov数である。

証明. Fibonacci数に関する記事
integers.hatenablog.com
で紹介したBinetの公式を用いれば証明できる。左辺-右辺を計算すれば\phi^2+\phi^{-2}-3でくくることが出来るが、これは0である。 Q.E.D.

また、Markov数については次の予想がなされています:

Markovトリプルの一意性予想 Markovトリプルはその成分の最大値から一意的に定まる。

つまり、最初の例で言えば、並び替えを除くと(2, 29, 169)以外に169が最大であるようなMarkovトリプルはないと言っています。部分的な結果はありますが、2016年現在、未解決問題のままであると思います。

また、Markov数であって素数であるようなものをMarkov素数と言い、Markov素数が無限個存在するかは未解決問題です。

Markov数(小さい順に100個)

1 1
2 2
3 5
4 13
5 29
6 34
7 89
8 169
9 194
10 233
11 433
12 610
13 985
14 1325
15 1597
16 2897
17 4181
18 5741
19 6466
20 7561
21 9077
22 10946
23 14701
24 28657
25 33461
26 37666
27 43261
28 51641
29 62210
30 75025
31 96557
32 135137
33 195025
34 196418
35 294685
36 426389
37 499393
38 514229
39 646018
40 925765
41 1136689
42 1278818
43 1346269
44 1441889
45 1686049
46 2012674
47 2423525
48 2922509
49 3276509
50 3524578
51 4400489
52 6625109
53 7453378
54 8399329
55 9227465
56 9647009
57 11485154
58 13782649
59 16609837
60 16964653
61 20031170
62 21531778
63 24157817
64 38613965
65 43484701
66 48928105
67 63245986
68 78442645
69 94418953
70 111242465
71 137295677
72 144059117
73 165580141
74 205272962
75 225058681
76 253191266
77 285018617
78 298045301
79 321534781
80 375981346
81 433494437
82 447626321
83 537169541
84 576298801
85 647072098
86 780291637
87 941038565
88 981277621
89 1134903170
90 1311738121
91 1405695061
92 1475706146
93 1873012681
94 2151239746
95 2561077037
96 2971215073
97 3057250481
98 3778847945
99 4434764269
100 4801489937

Markov素数 (小さい順に100個)

1 2
2 5
3 13
4 29
5 89
6 233
7 433
8 1597
9 2897
10 5741
11 7561
12 28657
13 33461
14 43261
15 96557
16 426389
17 514229
18 1686049
19 2922509
20 3276509
21 94418953
22 321534781
23 433494437
24 780291637
25 1405695061
26 2971215073
27 19577194573
28 25209506681
29 44208781349
30 44560482149
31 128367472469
32 143367113573
33 172765826641
34 311809494089
35 2156735837173
36 4360711162037
37 31801503090601
38 65082055350517
39 97568760404309
40 316141040381993
41 1746860020068409
42 1797110092720441
43 14497376284172417
44 28399179102482729
45 99194853094755497
46 178550735571442681
47 578533194662405393
48 885654153989035201
49 5767133969508832793
50 68480406462161287469
51 97504568602938767093
52 154466196153475428721
53 3440971837880006083249
54 6017226864647074440629
55 10838473978519171452469
56 13558774610046711780701
57 1606577036114427599277221
58 17395856662027256694321797
59 40355056064972093419107929
60 91015356306777369659693437
61 533085545064611653385916913
62 1066340417491710595814572169
63 2180181292731630687708108157
64 3879105994487597861648750461
65 11194070542156175027972809049
66 11498558720748729750293504333
67 12054029854689213198649480981
68 19134702400093278081449423917
69 29306416168104163256567950553
70 31460683183191329406107570801
71 93751461575379756817272172381
72 270689299528632194363285692481
73 651037040799629773892401592669
74 1618062672615263980714769483237
75 12060176252674248098532194336069
76 12917114652850747598435152234117
77 35016486571141828580164876751549
78 52262921816733669760257927219641
79 85467224948730400032627299618761
80 349858741220632201130749119694337
81 599382268853352715214171250771697
82 1459947768472180477629578637329837
83 2606748241724755004225913279393673
84 4082965036857519237701078947153277
85 4125636888562548868221559797461449
86 11931901168369766271363018362344337
87 31934889642337701598750158214029161
88 72591090488871527694883271387948849
89 126998368820908553276411534241806689
90 145863368395371766558811772934294049
91 199549806181824095645967262745905937
92 4760981394323203445293052612223893281
93 5706877083612011664975000662871235981
94 8579448465265568418616342127232586781
95 17485099331241436500304831816208615281
96 71210044871026329275614448782231080593
97 161733217200188571081311986634082331709
98 4297537737896012753695090399035226153313
99 6996290921227261944591864320795169235553
100 35130726024615934417894356295372637028869


233433という並びは個人的に覚えやすいな~と感じます。