インテジャーズ

INTEGERS

数、特に整数に関する記事。

Markov数

Markov数とはMarkovのDiophuntus方程式の自然数解(x, y, z)に現れる数のことを言います。

MarkovのDiophuntus方程式 三変数の方程式
\displaystyle x^2+y^2+z^2=3xyz
MarkovのDiophuntus方程式と言い、自然数解(x,y,z)のことをMarkovトリプル、Markovトリプルを構成する数をMarkov数と言う。

例えば、(2, 29, 169)はMarkovトリプルであり、従って2, 29, 169はMarkov数であることが分かります。

実は、Markov数は無数に存在します。このことは例えば次の定理から分かります:

定理 F_nn番目のFibonacci数とするとき、正整数nに対して (1, F_{2n-1}, F_{2n+1})はMarkovトリプルをなす。特に、奇数番目のFibonacci数は全てMarkov数である。

証明. Fibonacci数に関する記事89:フィボナッチ数 - INTEGERSで紹介したBinetの公式を用いれば証明できる。左辺-右辺を計算すれば \phi^2+\phi^{-2}-3でくくることが出来るが、これは0である。 Q.E.D.

また、Markov数については次の予想がなされています:

Markovトリプルの一意性予想 Markovトリプルはその成分の最大値から一意的に定まる。

つまり、最初の例で言えば、並び替えを除くと(2, 29, 169)以外に169が最大であるようなMarkovトリプルはないと言っています。部分的な結果はありますが、2016年現在、未解決問題のままであると思います。

また、Markov数であって素数であるようなものをMarkov素数と言い、Markov素数が無限個存在するかは未解決問題です。

Markov数(小さい順に100個)

\begin{align}&1, \ 
2, \ 
5, \ 
13, \ 
29, \ 
34, \ 
89, \ 
169, \ 
194, \ 
233, \ 
433, \ 
610, \ 
985, \ 
1325, \ 
1597, \ 
2897, \ 
4181, \\ 
&5741, \ 
6466, \ 
7561, \ 
9077, \ 
10946, \ 
14701, \ 
28657, \ 
33461, \ 
37666, \ 
43261, \ 
51641, \\ 
&62210, \ 
75025, \ 
96557, \ 
135137, \ 
195025, \ 
196418, \ 
294685, \ 
426389, \ 
499393, \ 
514229, \\ 
&646018, \ 
925765, \ 
1136689, \ 
1278818, \ 
1346269, \ 
1441889, \ 
1686049, \ 
2012674, \\ 
&2423525, \ 
2922509, \ 
3276509, \ 
3524578, \ 
4400489, \ 
6625109, \ 
7453378, \ 
8399329, \\ 
&9227465, \ 
9647009, \ 
11485154, \ 
13782649, \ 
16609837, \ 
16964653, \ 
20031170, \\ 
&21531778, \ 
24157817, \ 
38613965, \ 
43484701, \ 
48928105, \ 
63245986, \ 
78442645, \\ 
&94418953, \ 
111242465, \ 
137295677, \ 
144059117, \ 
165580141, \ 
205272962, \ 
225058681, \\ 
&253191266, \ 
285018617, \ 
298045301, \ 
321534781, \ 
375981346, \ 
433494437, \\ 
&447626321, \ 
537169541, \ 
576298801, \ 
647072098, \ 
780291637, \ 
941038565, \\ 
&981277621, \ 
1134903170, \ 
1311738121, \ 
1405695061, \ 
1475706146, \ 
1873012681, \\ 
&2151239746, \ 
2561077037, \ 
2971215073, \ 
3057250481, \ 
3778847945, \ 
4434764269, \\ 
&4801489937\end{align}

Markov素数 (小さい順に100個)

2
5
13
29
89
233
433
1597
2897
5741
7561
28657
33461
43261
96557
426389
514229
1686049
2922509
3276509
94418953
321534781
433494437
780291637
1405695061
2971215073
19577194573
25209506681
44208781349
44560482149
128367472469
143367113573
172765826641
311809494089
2156735837173
4360711162037
31801503090601
65082055350517
97568760404309
316141040381993
1746860020068409
1797110092720441
14497376284172417
28399179102482729
99194853094755497
178550735571442681
578533194662405393
885654153989035201
5767133969508832793
68480406462161287469
97504568602938767093
154466196153475428721
3440971837880006083249
6017226864647074440629
10838473978519171452469
13558774610046711780701
1606577036114427599277221
17395856662027256694321797
40355056064972093419107929
91015356306777369659693437
533085545064611653385916913
1066340417491710595814572169
2180181292731630687708108157
3879105994487597861648750461
11194070542156175027972809049
11498558720748729750293504333
12054029854689213198649480981
19134702400093278081449423917
29306416168104163256567950553
31460683183191329406107570801
93751461575379756817272172381
270689299528632194363285692481
651037040799629773892401592669
1618062672615263980714769483237
12060176252674248098532194336069
12917114652850747598435152234117
35016486571141828580164876751549
52262921816733669760257927219641
85467224948730400032627299618761
349858741220632201130749119694337
599382268853352715214171250771697
1459947768472180477629578637329837
2606748241724755004225913279393673
4082965036857519237701078947153277
4125636888562548868221559797461449
11931901168369766271363018362344337
31934889642337701598750158214029161
72591090488871527694883271387948849
126998368820908553276411534241806689
145863368395371766558811772934294049
199549806181824095645967262745905937
4760981394323203445293052612223893281
5706877083612011664975000662871235981
8579448465265568418616342127232586781
17485099331241436500304831816208615281
71210044871026329275614448782231080593
161733217200188571081311986634082331709
4297537737896012753695090399035226153313
6996290921227261944591864320795169235553
35130726024615934417894356295372637028869


233, \ 433という並びは個人的に覚えやすいな~と感じます。