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数、特に整数に関する記事。

5040:Gronwallの定理とRiemann予想

自然数nに対して、Gronwall関数G(n)

\displaystyle G(n):=\frac{\sigma (n)}{n\log \log n}

と定義します。\sigma (n)nの約数の総和です:
integers.hatenablog.com

このとき、次の定理が成立します:

Gronwallの定理
\displaystyle \limsup_{n \to \infty}G(n)=e^{\gamma}.

ここで、\gammaはEulerの定数です:
integers.hatenablog.com

実際には、Eulerのトーシェント関数\varphi (n)に関する類似の定理と同時に証明します。\varphi (n)については
integers.hatenablog.com
を参照してください。

定理 \displaystyle H(n):=\frac{\varphi (n)\log \log n}{n}とおく。このとき、
\displaystyle \liminf_{n \to \infty}H(n)=e^{-\gamma}
が成立する。

補題 n \geq 2とする。このとき、
\displaystyle \frac{\sigma (n)\varphi (n)}{n^2} < 1.

証明. \displaystyle n=\prod_{p \mid n}p^{e_p}と素因数分解されていると仮定する。このとき、

\displaystyle \sigma (n) = \prod_{p \mid n}\frac{p^{e_p+1}-1}{p-1} = n\prod_{p \mid n}\frac{1-p^{-e_p-1}}{1-p^{-1}},

\displaystyle \varphi (n) = n \prod_{p \mid n}\left( 1-\frac{1}{p} \right)

なので、

\displaystyle \frac{\sigma (n)\varphi (n)}{n^2}=\prod_{p \mid n}(1-p^{-e_p-1}) < 1

を得る。 Q.E.D.

定理の証明. n2以上の整数とし、nの素因数の個数がk個であると仮定する。\log n以下の素因数をp_1, \dots, p_{k-1}\log nより大きい素因数をp_{k-l+1}, \dots, p_kとする。

(\log n)^l < p_{k-l+1}\cdots p_k \leq n

なので、\displaystyle l < \frac{\log n}{\log \log n}である。よって、

\begin{equation}\begin{split} \frac{\varphi (n)}{n} &= \prod_{i=1}^k\left( 1-\frac{1}{p_i}\right) \geq \left( 1-\frac{1}{\log n}\right)^l \prod_{i=1}^{k-i}\left( 1-\frac{1}{p_i}\right) \\ &> \left( 1-\frac{1}{\log n}\right)^{\frac{\log n}{\log \log n}}\prod_{p < \log n}\left( 1-\frac{1}{p} \right).\end{split}\end{equation}

従って、\displaystyle I(t) := e^{\gamma}\log t\left( 1-\frac{1}{t} \right)^{\frac{t}{\log t}}\prod_{p \leq t}\left( 1-\frac{1}{p} \right)とすると

e^{\gamma}H(n) > I(\log n) ―①

が成り立ち、Mertensの第三定理
integers.hatenablog.com
より、t \to \inftyのとき

\displaystyle I(t) \sim \left( 1-\frac{1}{t} \right)^{\frac{t}{\log t}} = 1+O\left( \frac{1}{\log t} \right) \xrightarrow{t \to \infty} 1 ―②

を得る。次に、i \geq 2として、\displaystyle n_i:=\prod_{p \leq e^i}p^iとする。このとき、Chebyshevの定理
integers.hatenablog.com
よりC > 0が存在して

\log n_i = i\vartheta (e^i) \leq Cie^i

が成り立つ。Euler積表示
integers.hatenablog.com
より

\displaystyle \prod_{p \leq e^i}(1-p^{-i-1}) > \prod_p(1-p^{-i-1}) = \frac{1}{\zeta (i+1)}

なので、

\begin{equation}\begin{split} e^{-\gamma}G(n_i) &= \frac{e^{-\gamma}}{\log \log n_i}\prod_{p \leq e^i}\frac{1-p^{-i-1}}{1-p^{-1}} \\ &\geq \frac{e^{-\gamma}}{\zeta (i+1)(C+i+\log i)}\prod_{p \leq e^i}\frac{1}{1-p^{-1}}\end{split}\end{equation}

を得る。最後の式をJ(i)と定義すると

e^{-\gamma}G(n_i) \geq J(i) -③.

また、Riemannゼータ関数の記事で証明したように\displaystyle \lim_{i \to \infty}\zeta (i+1) = 1なので、Mertensの第三定理よりi \to \inftyのとき

\displaystyle J(i) \sim \frac{i}{\zeta (i+1)(C+i+\log i)} \xrightarrow{i \to \infty} 1 -④.

補題よりe^{-\gamma}G(n)e^{\gamma}H(n) < 1なので、①、③から

\displaystyle e^{-\gamma}G(n) < \frac{1}{I(\log n)} -⑤

および

\displaystyle e^{\gamma}H(n_i) < \frac{1}{J(i)} -⑥

が得られる。①、②、⑥、④より二つ目の定理が従い、⑤、①、②、③より最初の定理が従う。 Q.E.D.

Gronwallの定理と関連して、実は\sigma (n)をもっと正確に評価することはRiemann予想と同値であることが知られています:

Robinの定理 Riemann予想が成立することと、n \geq 5041に対して
\sigma (n) \leq e^{\gamma}n\log \log n
が成り立つことは同値である。

Robinの定理の証明は紹介できませんが、Riemann予想の初等的な言い換えとして有名です。また、5040が上記不等式が成立しない最大の整数であると予想されているということですから、5040という数の面白い性質を与えているとも思えます。Riemann予想については
integers.hatenablog.com
を参照してください。

Riemann予想を仮定することなしに、次の不等式が証明されています:

Robinの不等式 n \geq 2に対して、
\displaystyle G(n) < e^{\gamma}+\frac{0.6483}{(\log \log n)^2}
が成り立つ。

Robinは更に次のような興味深い定理も証明しています。

Robinの定理2 Riemann予想が成り立たないと仮定する。このとき、ある定数0 < \beta < 1/2およびC >0が存在して
\displaystyle e^{\gamma}n\log \log n+ C\frac{n\log \log n}{(\log n)^{\beta}}
が成り立つ。