インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

70:奇妙数

70

70は最小の奇妙数です。自分自身を除く正の約数の和が自分自身より大きい自然数(このような数を過剰数という)であって、自分自身を除く正の約数をいくつか選んでその和が自分自身に一致するかを考えたとき、どのように選んでも一致しないときに奇妙数といいます*1
自分自身を除く正の約数をいくつか選んでその和を自分自身に一致させることができる数のことを疑似完全数というので、奇妙数=過剰数かつ非疑似完全数となります。

例えば、20は自分自身を除く正の約数は1, 2, 4, 5, 10であって1+2+4+5+10=22 > 20なので過剰数です。しかし、1+4+5+10=20なので奇妙数ではありません。

一方、70は自分自身を除く正の約数は1, 2, 5, 7, 10, 14, 351+2+5+7+10+14+35=74 > 70で過剰数であり、これらのうちどれを選んで足しても70に出来ないため奇妙数です。

\sigma (n)nの正の約数の総和とします。基本性質については
integers.hatenablog.com
を参照してください。

補題 nを奇妙数とし、pp > \sigma (n)を満たすような素数とする。このとき、pnは奇妙数である。

証明. nが奇妙数であるとき、\sigma > 2nであり、相異なるnの正の約数d_1, \dots, d_r < nが存在してd_1+\cdots +d_r=nが成り立つ。このとき、

\sigma (pn) = \sigma (p)\sigma (n) = (p+1)\sigma (n) > (p+1)\cdot 2n > 2(pn)

かつ、pd_1, \dots , pd_r < pnは全てpnの正の約数で

pd_1+\cdots + pd_r=pn

が成り立つので、pnは奇妙数であることが示された。 Q.E.D.

よって、素数の無限性より次がわかります:

奇妙数は無数に存在する。

一方、次は未解決問題です。

未解決問題 奇数の奇妙数は存在するか?

補題から、次の原始奇妙数の概念を定義することができます:

定義 自分より小さい如何なる奇妙数の倍数にならないような奇妙数のことを原始奇妙数という

予想 原始奇妙数は無数に存在する。

奇妙数、最初の100個

70
836
4030
5830
7192
7912
9272
10430
10570
10792
10990
11410
11690
12110
12530
12670
13370
13510
13790
13930
14770
15610
15890
16030
16310
16730
16870
17272
17570
17990
18410
18830
18970
19390
19670
19810
20510
21490
21770
21910
22190
23170
23590
24290
24430
24710
25130
25690
26110
26530
26810
27230
27790
28070
28630
29330
29470
30170
30310
30730
31010
31430
31990
32270
32410
32690
33530
34090
34370
34930
35210
35630
36470
36610
37870
38290
38990
39410
39830
39970
40390
41090
41510
41930
42070
42490
42910
43190
43330
44170
44870
45010
45290
45356
45710
46130
46270
47110
47390
47810

原始奇妙数、最初の100個

70
836
4030
5830
7192
7912
9272
10792
17272
45356
73616
83312
91388
113072
243892
254012
338572
343876
388076
519712
539744
555616
682592
786208
1188256
1229152
1713592
1901728
2081824
2189024
3963968
4128448
4145216
4199030
4486208
4559552
4632896
4960448
5440192
5568448
6460864
6621632
7354304
7470272
8000704
8134208
8812312
9928792
11339816
11547352
12872512
12979264
13086016
14528576
15126992
17999992
28279232
29465852
29581424
31297472
33277312
33736064
34315712
34869056
35442304
36228736
36817024
37111168
37499776
38546576
43955584
44473216
44818304
52059008
52870528
55691392
58433152
58668928
58904704
74899952
85389368
89283592
91322752
92624768
95327216
110232704
120888092
141659096
146279296
146764264
160074368
162079768
167373952
173482552
254533504
259858324
260378492
263144192
263654656
266311424

*1:Wikipediaなどは「不思議数」としていますが、"Weird number"の訳で「不思議数」は少し嫌なので「奇妙数」を提唱します。