をEulerのトーシェント関数とするとき、について、の元のことをトーシェント数、の元のことを非トーシェント数と言います。
ですが、以上の奇数は全て非トーシェント数です。偶数であるような最小の非トーシェント数はです*1。
実は非トーシェント数全体のなす集合は自然密度をもちます。すなわち、に対して、以下のトーシェント数全体のなす集合を、以下の非トーシェント数全体のなす集合をとすれば、
が成り立ちます。自然数は大抵非トーシェント数なのです。しかしながら、トーシェント数は無数に存在し、逆数和が発散する程度には分布しています(実際、素数に対して、なのでは全てトーシェント数であり、素数の逆数和が発散するという事実からトーシェント数の逆数和も発散することが分かる)。密度に関する事実は次の定理から従います:
定理 (Pillai) 次の漸近公式が成立する:
時間が出来次第証明を書きます。