インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

47, 131:ウラム数

47は「nn+1がともにUlam数である」という性質を満たす知られている最大の数
(1, 2, 3, 47しか知られていない)。Ulam素数でもある。

131=62+69は「連続するUlam数の和となるようなUlam数である」という性質を満たす知られている最大の数(他には3=1+2しか知られていない)。こちらもUlam素数。


Ulam数列 Ulam数列\{U_n\}を次のように定義する: U_1:=1, U_2:=2とし、U_1, \dots, U_nが定義されているときに、U_1からU_nのうち相異なる二つの数の和として丁度一通りに表せるような数のうち最小のものをU_{n+1}と定義する。\{U_n\}Ulam数列といい、各U_nUlam数という。

U_1からU_{100}を以下に列挙する。例えば、

5=1+4=2+3, \ \ 7=1+6=3+4

と二通りの和に表すことができるので、57はUlam数ではない。

U_{1}= 1
U_{2}= 2
U_{3}= 3
U_{4}= 4
U_{5}= 6
U_{6}= 8
U_{7}= 11
U_{8}= 13
U_{9}= 16
U_{10}= 18
U_{11}= 26
U_{12}= 28
U_{13}= 36
U_{14}= 38
U_{15}= 47
U_{16}= 48
U_{17}= 53
U_{18}= 57
U_{19}= 62
U_{20}= 69
U_{21}= 72
U_{22}= 77
U_{23}= 82
U_{24}= 87
U_{25}= 97
U_{26}= 99
U_{27}= 102
U_{28}= 106
U_{29}= 114
U_{30}= 126
U_{31}= 131
U_{32}= 138
U_{33}= 145
U_{34}= 148
U_{35}= 155
U_{36}= 175
U_{37}= 177
U_{38}= 180
U_{39}= 182
U_{40}= 189
U_{41}= 197
U_{42}= 206
U_{43}= 209
U_{44}= 219
U_{45}= 221
U_{46}= 236
U_{47}= 238
U_{48}= 241
U_{49}= 243
U_{50}= 253
U_{51}= 258
U_{52}= 260
U_{53}= 273
U_{54}= 282
U_{55}= 309
U_{56}= 316
U_{57}= 319
U_{58}= 324
U_{59}= 339
U_{60}= 341
U_{61}= 356
U_{62}= 358
U_{63}= 363
U_{64}= 370
U_{65}= 382
U_{66}= 390
U_{67}= 400
U_{68}= 402
U_{69}= 409
U_{70}= 412
U_{71}= 414
U_{72}= 429
U_{73}= 431
U_{74}= 434
U_{75}= 441
U_{76}= 451
U_{77}= 456
U_{78}= 483
U_{79}= 485
U_{80}= 497
U_{81}= 502
U_{82}= 522
U_{83}= 524
U_{84}= 544
U_{85}= 546
U_{86}= 566
U_{87}= 568
U_{88}= 585
U_{89}= 602
U_{90}= 605
U_{91}= 607
U_{92}= 612
U_{93}= 624
U_{94}= 627
U_{95}= 646
U_{96}= 668
U_{97}= 673
U_{98}= 685
U_{99}= 688
U_{100}= 690

定理 Ulam数列は無限数列である。

証明. U_1, \dots, U_nが決まっているとき、N:=U_{n-1}+U_n

\mathcal{U}_n:=\{m \in \mathbb{N} \mid m\text{を}\{U_1, \dotsm U_n\}\text{に属する相異なる二つの数のとして表す方法は丁度一通り}\}

の元である。すなわち、\mathcal{U}_nは空集合ではない。このとき、\mathcal{U}_nの最小元がU_{n+1}である。 Q.E.D.

Ulam数であって、かつ素数であるものをUlam素数という。

Ulam素数最初の100個

U_{2}= 2
U_{3}= 3
U_{7}=11
U_{8}=13
U_{15}=47
U_{17}=53
U_{25}=97
U_{31}=131
U_{41}=197
U_{48}= 241
U_{69}= 409
U_{73}= 431
U_{91}= 607
U_{97}= 673
U_{106}= 739
U_{107}= 751
U_{123}= 983
U_{125}= 991
U_{138}= 1103
U_{167}= 1433
U_{172}= 1489
U_{177}= 1531
U_{181}= 1553
U_{193}= 1709
U_{194}= 1721
U_{241}= 2371
U_{242}= 2393
U_{246}= 2447
U_{267}= 2633
U_{280}= 2789
U_{286}= 2833
U_{287}= 2897
U_{297}= 3041
U_{306}= 3109
U_{312}= 3217
U_{322}= 3371
U_{323}= 3373
U_{338}= 3527
U_{340}= 3547
U_{343}= 3593
U_{353}= 3671
U_{354}= 3691
U_{382}= 4057
U_{388}= 4153
U_{393}= 4211
U_{398}= 4297
U_{403}= 4363
U_{411}= 4409
U_{412}= 4451
U_{415}= 4517
U_{416}= 4519
U_{433}= 4729
U_{444}= 4903
U_{448}= 4969
U_{460}= 5059
U_{462}= 5081
U_{492}= 5531
U_{525}= 6029
U_{560}= 6481
U_{567}= 6569
U_{582}= 6833
U_{591}= 6911
U_{601}= 7043
U_{614}= 7219
U_{619}= 7297
U_{630}= 7459
U_{641}= 7537
U_{643}= 7559
U_{646}= 7583
U_{648}= 7603
U_{651}= 7691
U_{653}= 7727
U_{677}= 8011
U_{687}= 8101
U_{693}= 8167
U_{721}= 8539
U_{725}= 8573
U_{753}= 8969
U_{754}= 8971
U_{756}= 9013
U_{767}= 9137
U_{780}= 9311
U_{784}= 9377
U_{791}= 9511
U_{796}= 9619
U_{799}= 9643
U_{805}= 9721
U_{808}= 9743
U_{815}= 9851
U_{821}= 9941
U_{842}= 10247
U_{845}= 10271
U_{852}= 10369
U_{854}= 10391
U_{858}= 10457
U_{859}= 10459
U_{860}= 10501
U_{869}= 10567
U_{874}= 10657
U_{877}= 10691*1

*1:100番目のUlam素数がU_{877}=10691というのは個人的にとても覚えやすいです。バナナ素数と691が出てくる!