インテジャーズ

読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

インテジャーズ

数、特に整数に関する記事。

|τ(n)|が素数となる数値例

4705942878159923138262416607648599521 47 τ(n)

Ramanujanの\tau関数シリーズがしばらく続いています。

integers.hatenablog.com

で次の定理を紹介しました:

定理 (Lehmer 1965)\tau (n)の絶対値が素数となるような最小のnn=63001=251^2であり、
\tau (63001)=-80561663527802406257321747
である。

\tau (n)の乗法性から絶対値が素数になるようなnをサーチするにはnが素数冪のときだけを考えれば十分ですが、最小であるn=251^2が素数の二乗であったことは偶然だったのでしょうか?例えば、|\tau(p)|が素数となるような素数pは存在しないのでしょうか?

integers.hatenablog.com
の最後に紹介したように、

\tau (p) \equiv 1+p^{11} \pmod{2^8}

が全ての奇素数に対して成り立つので、\tau (2)=-24と合わせて

任意の素数pに対して、\tau (p)は偶数である。

ことが分かります。一方、次の予想があります:

予想 \tau (n)=2なるnは存在しないであろう。

とりあえず、この予想を無根拠に信じることにしましょう。つまり、我々の目標を
|\tau (n)|が奇素数であるようなnを見つけたい」に変更します。すると、次の補題から最小の例が素数の二乗であったことが偶然でないことが分かります:

補題 \tau (n)が奇数であるための必要十分条件はnが奇平方数であることである。

証明. \tau (n)の乗法性からnが奇素数冪であるときに調べれば十分である。pを奇素数とする。このとき、\tau (p^{\text{奇数}})は偶数であり\tau (p^{\text{偶数}})は奇数であることを

integers.hatenablog.com

で紹介した漸化式

\tau (p^{k+1})=\tau(p)\tau(p^k)-p^{11}\tau (p^{k-1})

を用いてkに関する帰納法で証明する。まず、\tau (p)が偶数であることは既に述べた。また、漸化式より

\tau (p^2) = \tau(p)^2 - p^{11}

なので、\tau (p^2)が奇数であることがわかる。そうして、漸化式より(\tau (p)が偶数であることに注意して)

\displaystyle \tau (p^{k+1}) \equiv \tau (p^{k-1}) \pmod{2}

が成り立つので帰納法が進むことが分かる。 Q.E.D.

それでは、|\tau (n)|が素数になるような数値例を少しだけ見てみましょう:

\tau(251^2)=\tau(63001)= -80561663527802406257321747
\tau(677^2)=\tau(458329)= -11695495424911987900947041440697
\tau(971^2)=\tau(942841)= -261735233712444492786795215139587
\tau(983^2)=\tau(966289)= -686681472061569603985711525865543
\tau(1229^2)=\tau(1510441)= -8467957012200178807169459266490129
\tau(1721^2)=\tau(2961841)= -205501290141049152491380112020976837
\tau(47^4)=\tau(4879681)= 4705942878159923138262416607648599521
\tau(3779^2)=\tau(14280841)= -1524356715254406760222820845998524955179
\tau(5387^2)=\tau(29019769)= 224443925009579629668378270555411764988733
\tau(6791^2)=\tau(46117681)= 1299454610883721303125960788354586606213673
\tau(7013^2)=\tau(49182169)= -1988648387980861551397034681949121494854393
\tau(7187^2)=\tau(51652969)= 3579217288330406169889198142403494980716133
\tau(7547^2)=\tau(56957209)= -4476761695198736549472926280064699605616787
\tau(8663^2)=\tau(75047569)= 18986675267929014739008135100397614920764857
\tau(8951^2)=\tau(80120401)= 35939444348911957569743422920135731164715353
\tau(9281^2)=\tau(86136961)= -43871604252074653661169256503212499659879357
\tau(9677^2)=\tau(93644329)= 128844863071875710981186556723898218643960303
\tau(9887^2)=\tau(97752769)= 15664085954996284155731304952645361878931233
\tau(10223^2)=\tau(104509729)= -125338154897751299612618798710650314799748943
\tau(12743^2)=\tau(162384049)= -442785402547056268730712789178410635532481943
\tau(12821^2)=\tau(164378041)= -1534204908804388216025650578023030243634302537
\tau(13313^2)=\tau(177235969)= -1347484124288755202014916224913572863319632893
\tau(13913^2)=\tau(193571569)= 10061805965265469748943267998519551326558950107
\tau(14771^2)=\tau(218182441)= -4356635337420998944987932267126644113790968187
\tau(15263^2)=\tau(232959169)= -2304567838238163681347075552527336257392562143
\tau(15467^2)=\tau(239228089)= 8035995020618902642115366544797944509715180573
\tau(15923^2)=\tau(253541929)= -3965016228132266448314023594640562188897352443
\tau(16229^2)=\tau(263380441)= -20444005516590004822044702375369475546561595129
\tau(17393^2)=\tau(302516449)= 8167358142862612842677739331916871256485048307
\tau(17789^2)=\tau(316448521)= -11307959292832404493207997378707815029636757089
\tau(20753^2)=\tau(430687009)= 354321166877556395713221132860236738700095865107
\tau(20789^2)=\tau(432182521)= -108929306119015038143125114226858095241911650089
\tau(20903^2)=\tau(436935409)= 658647912647434071503830855023309237053126054857
\tau(21101^2)=\tau(445252201)= -352925254703250052523019277313554071743248483697
\tau(21617^2)=\tau(467294689)= 207730329324208824192409268118264360591049617523
\tau(22283^2)=\tau(496532089)= -325294048133695079960457057714715161430124047043
\tau(22409^2)=\tau(502163281)= -5473249010611264728094232074984752916774673909
\tau(22787^2)=\tau(519247369)= -531425570623444143891039309842043433409130553067
\tau(24137^2)=\tau(582594769)= -1161404444205955217107663103320291011971413534517
\tau(26597^2)=\tau(707400409)= -2332672056067561808057288876582546485930387734137
\tau(26813^2)=\tau(718936969)= 12016122047224022427132750189378002726973986448607
\tau(28439^2)=\tau(808776721)= -7508909580431686609387152858505797240082097247239
\tau(29207^2)=\tau(853048849)= 4247413630560887222854275824253219767432670022393
\tau(29411^2)=\tau(865006921)= -2297494948375073988268096841433983172339064553867
\tau(30509^2)=\tau(930799081)= -867196274813575736844874637221702811153190521009
\tau(30677^2)=\tau(941078329)= -22616710325899152934709689643035204455491153602697
\tau(30839^2)=\tau(951043921)= -13475428581612679071377552771218118119849742201639
\tau(30851^2)=\tau(951784201)= 9140668407998370222052845982118666289045588668053
\tau(32621^2)=\tau(1064129641)= -29998526833406614863373011317096843340022112385137
\tau(33791^2)=\tau(1141831681)= -65529002350582725328920794857507928684181760355327
\tau(34061^2)=\tau(1160151721)= -9154788659335609775849031489599824591690602014417
\tau(34469^2)=\tau(1188111961)= -609717835369848157056145989816426248001637027769
\tau(34667^2)=\tau(1201800889)= -18209638354054465839230075219060725281939830553827
\tau(35171^2)=\tau(1236999241)= -79069010088823857775770812039781005593089842462987
\tau(36017^2)=\tau(1297224289)= -48743352884449682973516556105681757164424489107277
\tau(37397^2)=\tau(1398535609)= 525824391650418688641761855204496076615392625742263
\tau(38729^2)=\tau(1499935441)= -150910894536722691328425771667911005291058303192629
\tau(197^4)=\tau(1506138481)= -61173108975256286309417185740968595252976078491779
\tau(39671^2)=\tau(1573788241)= -191405978461120208031247656857665421275422442360487
\tau(42101^2)=\tau(1772494201)= 721496091661416796390722579832143256470326162017303
\tau(43151^2)=\tau(1862008801)= -956505280276286640471609058828006468398909110976047
\tau(44579^2)=\tau(1987287241)= -1374988032244037759163219582063337433050070351515979
\tau(45557^2)=\tau(2075440249)= 1339838624774274607839788446954171981159964475201943
\tau(46877^2)=\tau(2197453129)= 4240259449919726697924333610630864187787228080131903
\tau(47969^2)=\tau(2301024961)= -922657470480345830701541174080429893408934788186269
\tau(49331^2)=\tau(2433547561)= -3232143601653982201424116104085863785442045970947707
\tau(49757^2)=\tau(2475759049)= 7155012924140584297743294883299152576599249922044543
\tau(50069^2)=\tau(2506904761)= 1793287365364282513895754392048066898476141315064631
\tau(52391^2)=\tau(2744816881)= -1833229315576899598436674083575309198562795164169527
\tau(52727^2)=\tau(2780136529)= -7601666051456945031564844783782704500802366720475047
\tau(55331^2)=\tau(3061519561)= 12644003262814793698888417089288552998354296927322293
\tau(58439^2)=\tau(3415116721)= 35402392718418700255970960625291194451567034287062761
\tau(59729^2)=\tau(3567553441)= -21610907068927310503351125443602889084392363736403629
\tau(59753^2)=\tau(3570421009)= 45614602989647119567081298290231629571626392579888107
\tau(60497^2)=\tau(3659887009)= -36015227762318917310123434163487931137917168754027437
\tau(60689^2)=\tau(3683154721)= -25377191811153809524766298844662186315377249666826989
\tau(61547^2)=\tau(3788033209)= -36567581879301397200334986258570740038018049230114787
\tau(61613^2)=\tau(3796161769)= -5143540888926163898222072126706954149089807136153393
\tau(63149^2)=\tau(3987796201)= 92654834276511504488985988816333512031139955745990351
\tau(64877^2)=\tau(4209025129)= -36413139221384971340925148870623133316877354234346097
\tau(66173^2)=\tau(4378865929)= -55350757509758502908825244289402833786551539335076193
\tau(66467^2)=\tau(4417862089)= -16594126544938216724923656320177550745385323127764427
\tau(67391^2)=\tau(4541546881)= 199036132439256939715115204016081300963694821972881473
\tau(70289^2)=\tau(4940543521)= 364745162714195345060954563267367022858448133449675411
\tau(71363^2)=\tau(5092677769)= -52572509289123178814973317480267828726700010094809643
\tau(73091^2)=\tau(5342294281)= 320300506915692979695508105215207612533912966520391573
\tau(73553^2)=\tau(5410043809)= -268213952808031260526936330581157396129027886690334893
\tau(75983^2)=\tau(5773416289)= 873425388043061064362985231283134714196597813229469457
\tau(76403^2)=\tau(5837418409)= -241253230149109030704398966744109656156103651465139643
\tau(77279^2)=\tau(5972043841)= 334685421212866981828093102672966461300709622418196321
\tau(78797^2)=\tau(6208967209)= -139975292872478278758200638366845580080789856285163537
\tau(79613^2)=\tau(6338229769)= -273073073661464246060072415586669886643483058773767393
\tau(82217^2)=\tau(6759635089)= -332095892523025393426294517146358293472031253615854677
\tau(83339^2)=\tau(6945388921)= =-312839186929118438121943754695754684096313929630659139
\tau(85781^2)=\tau(7358379961)= 1444912656082930410610299378097000276167386309542121143
\tau(88493^2)=\tau(7831011049)= -1800697451043670737869183923127253190678058591646406193
\tau(89087^2)=\tau(7936493569)= -2191080701953591706196532688696619626562463722583815167
\tau(89393^2)=\tau(7991108449)= -1261447831736747494470790674006273335382852996501503693
\tau(89897^2)=\tau(8081470609)= 3936137238493424752074381246411833213747430105272334763
\tau(91433^2)=\tau(8359993489)= 3858897438227997776782072242839126472363753649885601707


絶対値ではなく、\tau(p^{\bullet})そのものが素数であるものに興味を置くと、

\tau (47^4)=4705942878159923138262416607648599521

が最小のものであることが分かります。これは素数の四乗が現れる最初の例という特徴も持ち合わせています。

知られている最大のもの(の候補*1)は\tau (773^{34960})555339桁だそうです(N. Lygeros and O. Rozier (Sep. 2015))。

*1:probable primeの可能性あり。