Ramanujanのの数値例を
などで見てきましたが、その数値は比較的大きくを取るは見当たりません。実は次の予想があります:
Romantic Supersingular Primes!~ロマンティック数学ナイトの飛び込みプレゼン枠で発表してきた - INTEGERS
ラマヌジャンのΔと或る重さ2の保型形式の間の合同式 - INTEGERS
で紹介したについてはElkiesのエポックメイキングな結果によってなる素数が無数に存在することが証明されているので、それに対比すると面白い予想です。これは保型形式の重さの違いから来るものと思われますが、一方本当にこの予想が正しいのかについては私はなんとなく懐疑的です。
の導入
各素数に対して
によってを導入します。既に解決済みであるRamanujan予想によっては実数であることが分かります。不定性を除くためにとします。
とするととなってが整数であることに反するので、であることに注意しましょう。
証明. のときは自明であり、のときは二倍角の公式より成立することが分かる。一般の場合は漸化式
を用いて数学的帰納法で証明できる。実際、のときに成立すると仮定すれば
と変形できる。最後の等号には三角関数の和積公式を用いた。 Q.E.D.
証明. は自明なので、を証明する。の乗法性からかつなる素数および以上の整数が存在したと仮定して矛盾を導けばよい。
は有理数である。一方、補題1と仮定よりなので、が成り立つ。ここで、(コサインに対する)Chebyshev多項式を思い出そう:
この漸化式からのの係数はで割り切れることを帰納法で証明できる。これと、は偶関数であることから、は代数的整数であることが分かる。よって、は整数となり、自然数が存在して
が成立する。が整数なので、上式からでは奇数でなければならない。一方、なので、である。つまり、の場合を除いて矛盾に到達した。しかし、これら例外ケースにおいてもと矛盾が生じる。 Q.E.D.
補題2よりLehmer予想の成否を調べるにはどうかを調べればよいことが分かりますが、なるが存在するならばはある程度大きいことを次のように簡単に論証できます。
integers.hatenablog.com
で紹介した合同式を使います。
証明. と仮定する。数値例よりとしてよい。が成り立つが、Eulerの定理よりなので合わせるとが得られる。次に、よりであるが、Eulerの定理よりなので。とより。とより。以上より
であり、
が得られる。 Q.E.D.
佐藤-Tate予想
とを導入しましょう。これらを使えば、補題1は次のようにも書けます:
さて、Ramanujan予想はということなので、複素数をの根とすると
となって
となります。これはある種のRiemann予想と思えます。このケースではDeligneによって既にRiemann予想が解けているため、次なる問題は零点の虚部の情報を得ること、すなわち、の情報を得ることが重要な課題になるでしょう。この問題に関して、を動かしたときにの分布は美しい挙動を示すというのが佐藤-Tate予想です*1。
これは2010年4月1日にBarnet-Lamb‐Geraghty‐Harris‐Taylorによって解決されています*2。