インテジャーズ

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数、特に整数に関する記事。

親愛なる素数7758337633へ。あなたが好きです。

Ramanujanの\tau関数に関する非常に難しい未解決問題を紹介します。

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に掲載した数値例をみると、

\tau(2)= -24=-2^3\times 3
\tau(3)= 252=2^2\times 3^2\times 7
\tau(5)= 4830=2\times 3\times 5\times 7 \times 23
\tau(7)= -16744=-2^3 \times  7\times 13 \times 23

の4つは「\tau (p)pの倍数である」という著しい性質を持ちます。

しかし、

\tau(11)= 534612=2^2\times 3\times 13 \times 23 \times 149

以降は全然同じ性質を満たす素数が出現しません*1。このような素数は非常に珍しいのです。名称を定義しておきましょう:

定義 素数pが(\Deltaに対する)通常素数であるとは、
\tau (p) \not \equiv 0 \pmod{p}
が成り立つといきにいう。また、非通常素数であるとは、
\tau (p) \equiv 0 \pmod{p}
が成り立つといきにいう。

この定義によって、2, 3, 5, 7は非通常素数であることが分かります。

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で紹介した数列a_p=c(p)についても同様の概念が定義されました(非通常素数ではなく超特異素数という名前が付いていましたが、それは楕円曲線の超特異還元に由来するからです)。そして、Elkiesによって超特異素数の無限性が示されていました(大定理)!

a_pに対する超特異素数は2を除いて必ずa_p=0となったのに対し、

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で紹介したLehmer予想を信じると、\Deltaに対する非通常素数は\tau (p) \neq 0となるはずなので様子が違います。また、重さが2より大きい保型形式に対してこの手の問題を扱うことは極めて難しく、驚くべきことに次の問題ですら未解決なのです!

未解決問題1 \Deltaに対する通常素数は無数に存在することを示せ。

専門用語になりますが、\Deltaは虚数乗法を持たないため、予想としては密度1で(すなわち殆ど全ての)素数は通常素数であるにも関わらず、我々人類はいまだにその無限性を示せずにいます(\mathbb{Q}上の楕円曲線、重さ2の保型形式のときは簡単)。

一方、非通常素数は密度0と予想されていますが、有限なのか無限なのか分かっていません*2

未解決問題2 非通常素数は有限個しか存在しないか?それとも無数に存在するか?

例えば、岩澤理論や肥田理論など、通常素数のときには理論を組み立てやすいといった現象が数論で見られます。しかし、(局所大域原理的な観点など)応用の視点からみると全ての素数を扱うべきです。すなわち、非通常素数も無視するわけにはいきません。もしそれが有限個しかないのであれば、それらを個別に調べれば理論が完成することになるかもしれませんが、数論の深さ・神秘性を考えると、私には非通常素数は無数に存在するような気がしてなりません*3

2, 3, 5, 7以外に非通常素数はあるか?

冒頭でチェックしたように2, 3, 5, 7は非通常素数であり、最初の4つの素数が立て続けに非通常素数であるという状況になっています。しかし、

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で紹介したように、\tau (p)\bmod{2}, \bmod{3}, \bmod{5}, \bmod{7}で特徴的な合同式を満たすため、或る意味ではこれらが非通常であることは不思議ではないと思えます。その後、通常素数ばかりが現れることになりますが、この4つ以外に非通常素数は知られていないのでしょうか? 1968年のSerreの論文には

Est-il réduit à \{2, 3, 5, 7\}?

とあります。



実を言うと、




非通常素数は2, 3, 5, 7以外にも
ありまぁす!!





1972年にNewmanによって2411が発見されました。実際、

\tau (2411)=4542041100095889012 = 2^2 \times 3^2 \times 7 \times 23 \times \color{red}{2411} \times 2423 \times 134144249

となっています。


そして、2010年3月15日に、Lygerosと Rozierによってもう一つの非通常素数が発見されました!!その数値は




7758337633!!!!!




ご安心ください。!!!!!は驚嘆を表す記号で、決して階乗を表す記号ではございません。



実際に、

\begin{equation}\begin{split}\tau (7758337633) &= 3634118031125820057253378550628821747860472052772622882\\ &= 2\times 31481 \times \color{red}{7758337633} \times 7439638579196209777834920016764711229817\end{split}\end{equation}

となっています。




7758337633が私の好きな素数暫定一位(一意)です。このような素数がもしかしたら他にも無数にあるかもしれないと思うと、興奮して夜も眠れません*4

*1:ちなみに\tau (11)123456のアナグラムになります。

*2:私は無数に存在すると信じています。ロマンです!

*3:非通常素数に対する数論の研究も非常に盛んに行なわれています!

*4:\tau (p)の剰余が(事実ではないはずですが)もし一様に出現するのであれば、pが非通常素数である確率は1/pとなります。従って、x以下の非通常素数の個数は約\sum_{p \leq x}1/pで、Mertensの第二定理よりこれは\log \log xに漸近します。つまり、非通常素数は無数に存在することになります。このheuristicは所謂「\log \logの哲学」です。